Câu 2.18 trang 63 SBT Đại số nâng cao lớp 11 Bài 2: Hoán vị chỉnh hợp và tổ hợp...

Cho tập hợp $A = \left\{ {1,2,3,....n} \right\}$ trong đó $n$ là số nguyên dương lớn hơn 1 . Hỏi có bao nhiêu cặp sắp thứ tự $\left( {x,y} \right)$ thỏa mãn $x,y \in A$ và $x \ge y$ ?

 Gọi B là tập hợp các cặp thảo mãn điều kiện đầu bài và $A\left( k \right) = \left[ {\left( {k;k} \right);\left( {k,k - 1} \right);...;\left( {k,1} \right)} \right]$ $k = 1,2,..n.$

Ta có $B = \bigcup\limits_{k = 1}^n {A\left( k \right),}$ và $\left| {A\left( k \right) } \right|=k.$

Hoặc ta có thể lí luận như sau: Một tập con có 2 phần tử A, ứng với duy nhất một cặp $\left( {x,y} \right),$ với $x,y$ thuộc A và $x \ge y.$ Vậy số cặp cần tìm là:

                        $C_n^2 + n = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2}$