Câu 30 trang 55 Toán Hình 11 Nâng cao (SBT): Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng Gọi M và N lần lượt là trung...

30. Trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và AB.

a) Hãy xác định điểm $I \in AC,\,J \in DN$ sao cho IJ//BM.

b) Tính độ dài đoạn thẳng IJ theo a.

a) Trong mp(BCD), từ D kẻ đường thẳng song song với BM cắt CB tại K. Đường thẳng KN cắt AC tại I. Trong mp(IKD), từ I kẻ đường thẳng song song với DK cắt đường thẳng DN tại J. Khi đó theo cách dựng ta có IJ // BM.

b) Do BM là đường trung bình của tam giác CKD nên

$KD = 2BM = 2.{{a\sqrt 3 } \over 2} = a\sqrt 3$

Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó:

$\eqalign{ & NH//AC \Rightarrow {{NK} \over {NI}} = {{KH} \over {HC}} = {{3HC} \over {HC}} = 3 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow NK = 3NI \Rightarrow KD = 3IJ \cr}$

Vậy $IJ = {1 \over 3}KD = {{a\sqrt 3 } \over 3}$.