Bài 1.4 trang 100 SBT Đại số và giải tích 11: Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈...

Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N*)

a) ${2^{n + 2}} > 2n + 5{\rm{ }}$;

b) ${\sin ^{2n}}\alpha  + {\cos ^{2n}}\alpha  \le 1$    

Giải:

a)      Với n = 1 thì ${2^{1 + 2}} = 8 > 7 = 2.1 + 5$

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k \ge 1$ tức là ${2^{k + 2}} > 2k + 5\,\,\,(1)$

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1, tức là ${2^{k + 3}} > 2\left( {k + 1} \right) + 5$ hay ${2^{k + 3}} > 2k + 7\,\,\,\left( 2 \right)$ 

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

${2^{k + 3}} > 4k + 10 = 2k + 7 + 2k + 3$ 

Vì $2k + 3 > 0$ nên ${2^{k + 3}} > 2k + 7\left( {đpcm} \right)$

b)      Với n = 1 thì ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$ bất đẳng thức đúng.

Giả sử đã có ${\sin ^{2k}}\alpha  + {\cos ^{2k}}\alpha  \le 1$ với $k \ge 1$, ta phải chứng minh

${\sin ^{2k + 2}}\alpha  + {\cos ^{2k + 2}}\alpha  \le 1$. 

Thật vậy, ta có:

${\sin ^{2k + 2}}\alpha  + {\cos ^{2k + 2}}\alpha$

$= {\sin ^{2k}}\alpha .{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^{2k}}\alpha .{\cos ^2}\alpha  \le {\sin ^{2k}}\alpha  + {\cos ^{2k}}\alpha  \le 1$