Advertisements (Quảng cáo)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n \ge 2\), ta luôn có bất đẳng thức sau:
a) \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + … + {1 \over {\sqrt n }} > \sqrt n \)
b) \(1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + … + {1 \over {{2^n} – 1}} < n\)
a) Ta sẽ chứng minh
\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + … + {1 \over {\sqrt n }} > \sqrt n \) (1)
Với mọi \(n \ge 2,\) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 2,\) hiển nhiên ta có \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} > \sqrt 2 .\) Vì thế, (1) đúng khi \(n = 2\)
Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k,k \in N^*\) và \(k \ge 2,\) khi đó ta có
\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + … + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}\) (2)
Mà \(\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt {k + 1} \) (dễ thấy), nên từ (2) suy ra
\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + … + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt {k + 1} \)
Nghĩa là ta cũng có (1) đúng khi \(n = k + 1\)
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(n \ge 2\)
b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp