Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 3.6 trang 86 SBT Đại số nâng cao lớp 11 Bài...

Câu 3.6 trang 86 SBT Đại số nâng cao lớp 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học...

Câu 3.6 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n \ge 2\), ta luôn có bất đẳng thức sau:. Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n \ge 2\), ta luôn có bất đẳng thức sau:

 a) \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + … + {1 \over {\sqrt n }} > \sqrt n \)

b) \(1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + … + {1 \over {{2^n} – 1}} < n\)

a) Ta sẽ chứng minh

\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + … + {1 \over {\sqrt n }} > \sqrt n \)                                     (1)

Quảng cáo

Với mọi \(n \ge 2,\) bằng phương pháp quy nạp

Với  \(n = 2,\) hiển nhiên ta có \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} > \sqrt 2 .\) Vì thế, (1) đúng khi \(n = 2\)

Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k,k \in N^*\) và \(k \ge 2,\) khi đó ta có

                                \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + … + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt k  + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}\)                    (2)

Mà \(\sqrt k  + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt {k + 1} \) (dễ thấy), nên từ  (2) suy ra

                                \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + … + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt {k + 1} \)

Nghĩa là ta cũng có (1) đúng khi \(n = k + 1\)

Từ các chứng minh trên suy ra  (1) đúng với mọi \(n \ge 2\)

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Quảng cáo