Câu 3.6 trang 86 SBT Đại số nâng cao lớp 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học...

Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \ge 2$, ta luôn có bất đẳng thức sau:

 a) $1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > \sqrt n$

b) $1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + ... + {1 \over {{2^n} - 1}} < n$

a) Ta sẽ chứng minh

$1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > \sqrt n$                                     (1)

Với mọi $n \ge 2,$ bằng phương pháp quy nạp

Với  $n = 2,$ hiển nhiên ta có $1 + {1 \over {\sqrt 2 }} > \sqrt 2 .$ Vì thế, (1) đúng khi $n = 2$

Giả sử đã có (1) đúng khi $n = k,k \in N^*$ và $k \ge 2,$ khi đó ta có

                                $1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt k  + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}$                    (2)

Mà $\sqrt k  + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt {k + 1}$ (dễ thấy), nên từ  (2) suy ra

                                $1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} > \sqrt {k + 1}$

Nghĩa là ta cũng có (1) đúng khi $n = k + 1$

Từ các chứng minh trên suy ra  (1) đúng với mọi $n \ge 2$

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp