Câu 3.4 trang 86 SBT Đại số nâng cao lớp 11 Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng...

Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng

a) $n\left( {2{n^2} - 3n + 1} \right)$ chia hết cho 6

b) ${11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}$ chia hết cho 133

a) Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh

                                $n\left( {2{n^2} - 3n + 1} \right) \vdots \,6$                     (1)

Với mọi $n \in N^*$

Với $n = 1,$ ta có $n\left( {2{n^2} - 3n + 1} \right) = 0.$ Hiển nhiên $0\; \vdots\; 6,$ và vì thế (1) đúng khi $n = 1$

Giả sử đã có (1) đúng khi $n = k,k \in {N^ * }$, tức là $k\left( {2{k^2} - 3k + 1} \right) \;\vdots \;6,$ ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi $n = k + 1$

Thật vậy, do $\left( {k + 1} \right)\left[ {2{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 3\left( {k + 1} \right) + 1} \right]$

$= k\left( {2{k^2} - 3k + 1} \right) + 6{k^2}$ nên từ gải thiết quy nạp suy ra $\left( {k + 1} \right)\left[ {2{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 3\left( {k + 1} \right) + 1} \right] \;\vdots\; 6,$ nghĩa là (1) đúng khi $n = k + 1$

Từ các chứng minh trên suy ra (1)  đúng với mọi $n \in N^*.$

b) Ta sẽ chứng minh

             ${11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}\; \vdots \;133$                           (2)

Với mọi $n \in N^*,$ bằng phương pháp quy nạp.

Với $n = 1,$ ta có ${11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}} = {11^2} + 12 = 133.$ Vì thế (2) đúng khi $n = 1.$

Giả sử đã có (2) đúng khi $n = k,k \in N^*,$ ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi $n = k + 1$

Thật vậy ta có

$\eqalign{ & {11^{(k + 1) + 1}} + {12^{2(k + 1) - 1}}\cr& = 11.\left( {{{11}^{k + 1}} + {{12}^{2k - 1}}} \right) + {12^{2k - 1}}.({12^2} - 11) \cr & = 11.\left( {{{11}^{k + 1}} + {{12}^{2k - 1}}} \right) + {133.12^{2k - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \cr}$

Mà ${11^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}\; \vdots \;133$ (theo giả thiết quy nạp) nên từ (3) suy ra

                                ${11^{(k + 1) + 1}} + {12^{2(k + 1) - 1}} \;\vdots \;133$

Nghĩa là (2) đúng khi $n = k + 1$

Từ các chứng minh trên suy ra (2) đúng với mọi $n \in N^*$