Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 3.4 trang 86 SBT Đại số nâng cao lớp 11 Cho...

Câu 3.4 trang 86 SBT Đại số nâng cao lớp 11 Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng...

Câu 3.4 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. a) \(n\left( {2{n^2} – 3n + 1} \right)\) chia hết cho 6. Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng

a) \(n\left( {2{n^2} – 3n + 1} \right)\) chia hết cho 6

b) \({11^{n + 1}} + {12^{2n – 1}}\) chia hết cho 133

a) Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh

                                \(n\left( {2{n^2} – 3n + 1} \right) \vdots \,6\)                     (1)

Với mọi \(n \in N^*\)

Với \(n = 1,\) ta có \(n\left( {2{n^2} – 3n + 1} \right) = 0.\) Hiển nhiên \(0\; \vdots\; 6,\) và vì thế (1) đúng khi \(n = 1\)

Giả sử đã có (1) đúng khi \(n = k,k \in {N^ * }\), tức là \(k\left( {2{k^2} – 3k + 1} \right) \;\vdots \;6,\) ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(n = k + 1\)

Thật vậy, do \(\left( {k + 1} \right)\left[ {2{{\left( {k + 1} \right)}^2} – 3\left( {k + 1} \right) + 1} \right] \)

Quảng cáo

\(= k\left( {2{k^2} – 3k + 1} \right) + 6{k^2}\) nên từ gải thiết quy nạp suy ra \(\left( {k + 1} \right)\left[ {2{{\left( {k + 1} \right)}^2} – 3\left( {k + 1} \right) + 1} \right] \;\vdots\; 6,\) nghĩa là (1) đúng khi \(n = k + 1\)

Từ các chứng minh trên suy ra (1)  đúng với mọi \(n \in N^*.\)

b) Ta sẽ chứng minh

             \({11^{n + 1}} + {12^{2n – 1}}\; \vdots \;133\)                           (2)

Với mọi \(n \in N^*,\) bằng phương pháp quy nạp.

Với \(n = 1,\) ta có \({11^{n + 1}} + {12^{2n – 1}} = {11^2} + 12 = 133.\) Vì thế (2) đúng khi \(n = 1.\)

Giả sử đã có (2) đúng khi \(n = k,k \in N^*,\) ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(n = k + 1\)

Thật vậy ta có

\(\eqalign{
& {11^{(k + 1) + 1}} + {12^{2(k + 1) – 1}}\cr& = 11.\left( {{{11}^{k + 1}} + {{12}^{2k – 1}}} \right) + {12^{2k – 1}}.({12^2} – 11) \cr
& = 11.\left( {{{11}^{k + 1}} + {{12}^{2k – 1}}} \right) + {133.12^{2k – 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \cr} \)

Mà \({11^{k + 1}} + {12^{2k – 1}}\; \vdots \;133\) (theo giả thiết quy nạp) nên từ (3) suy ra

                                \({11^{(k + 1) + 1}} + {12^{2(k + 1) – 1}} \;\vdots \;133\)

Nghĩa là (2) đúng khi \(n = k + 1\)

Từ các chứng minh trên suy ra (2) đúng với mọi \(n \in N^*\)

Quảng cáo