Câu hỏi 2 trang 81 SGK Đại số và Giải tích lớp 11: Chứng minh rằng với n ∈ N* thì...

Chứng minh rằng với n ∈ N* thì

$\displaystyle 1 + 2 + 3 + … + n = {{n(n + 1)} \over 2}$

- Xét với $n=1$, chứng minh đẳng thức đúng với $n=1$.

- Giả sử đẳng thức đúng với $n=k\ge 1$, chứng minh đẳng thức đúng với $n=k+1$.

- Khi $n = 1, VT = 1$

$\displaystyle VP = {{1(1 + 1)} \over 2} = 1$

- Giả sử đẳng thức đúng với $n = k ≥ 1$, nghĩa là:

$\displaystyle{S_k} = 1 + 2 + 3 + ... + k = {{k(k + 1)} \over 2}$

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với $n = k + 1$, tức là:

$\displaystyle {S_{k + 1}} = 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1)$ $\displaystyle  = {{(k + 1)(k + 2)} \over 2}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

$\displaystyle{S_{k + 1}} = {S_k} + (k + 1)$ $\displaystyle = {{k(k + 1)} \over 2} + (k + 1)$

$\displaystyle = {{k(k + 1) + 2(k + 1)} \over 2}$ $\displaystyle ={{(k + 1)(k + 2)} \over 2}$

Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*