Câu hỏi 3 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 11: Cho hai số 3n và 8n với n ∈ N*....

Cho hai số 3ⁿ và 8n với n ∈ N*.

a) So sánh 3ⁿ và 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5.

b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

a) Thay lần lượt các giá trị của \(n\) và so sánh.

b) Từ các kết quả ở ý a) dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh.

a) So sánh 3ⁿ và 8n với n = 1, 2, 3, 4, 5.

n = 1 ⇒ 3¹ = 3 < 8 = 8.1

n = 2 ⇒ 3² = 9 < 16 = 8.2

n = 3 ⇒ 3³ = 27 > 24 = 8.3

n = 4 ⇒ 3⁴ = 81 > 32 = 8.4

n = 5 ⇒ 3⁵ = 243 > 40 = 8.5

b) Dự đoán kết quả tổng quát: 3ⁿ > 8n với mọi n ≥ 3

– n = 3, bất đẳng thức đúng

– Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 3, nghĩa là:

3^k > 8k

Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

3^{(k + 1)} > 8(k + 1)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

3^{k + 1} = 3^k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16k

k ≥ 3 ⇒ 16k ≥ 16.3 = 48 > 8

Suy ra: 3^{k + 1} > 8k + 8 = 8(k + 1)

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ 3