Cho số nguyên n≥2 và cho số thực a1,a2,..an thuộc khoảng (0;1). Chứng minh rằng
(1−a1)(1−a2)...(1−an)>1−a1−a2−...−an
Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp
Kí hiệu bất đẳng thức cần chứng minh theo yêu cầu của đề bài bởi (1)
Với n=2, xét hai số thực túy ý a1,a2∈(0;1) ta có
(1−a1)(1−a2)
=1−a1−a2+a1a2>1−a1−a2 (do a1,a2>0 )
Như thế, (1) đúng khi n=2
Giả sử đã có (1) đúng khi n=k,k∈N∗ và k≥2,
Xét k+1 số thực tùy ý a1,a2,..ak,ak+1 thuộc khoảng (0;1)
Vì k số a1,a2,..ak thuộc khoảng (0;1) nên theo giả thiết quy nạp ta có
Advertisements (Quảng cáo)
(1−a1)(1−a2)...(1−ak)>1−a1−a2−...−ak
Từ đó, vì 1−ak+1>0, suy ra
(1−a1)(1−a2)...(1−ak)(1−ak+1)>
(1−a1−a2−...−ak)(1−ak+1) (2)
Lại có
(1−a1−a2−...−ak)(1−ak+1)=1−a1−a2−...−ak−ak+1+(1−a1−a2−...−ak)ak+1>1−a1−a2−...−ak−ak+1(3)
Từ (2) và (3) ta được
(1−a1)(1−a2)...(1−ak)(1−ak+1)>
1−a1−a2−...−ak−ak+1
Như vậy (1) cũng đúng khi n=k+1
Từ các chứng minh trên suy ra có điều cần chứng minh theo yêu cầu của để bài.