Bài 1.7 trang 100 SBT Đại số và giải tích 11: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có...

Cho n số thực ${a_1},{a_2}..{a_n}$ thoả mãn điều kiện

$- 1 < {a_i} \le 0$ với $i = \overline {1,n}$

Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có

$\left( {1 + {a_1}} \right)\left( {1 + {a_2}} \right)...\left( {1 + {a_n}} \right) \ge 1 + {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}$   

Với n = 1 bất đẳng thức đúng.

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k \ge 1$ tức là

$\left( {1 + {a_1}} \right)\left( {1 + {a_2}} \right)...\left( {1 + {a_k}} \right) \ge 1 + {a_1} + {a_2} + ... + {a_k}$  (1)

Nhân hai vế của (1) với $1 + {a_{k + 1}}$ ta được

$\eqalign{ & \left( {1 + {a_1}} \right)\left( {1 + {a_2}} \right) \ldots \left( {1 + {a_k}} \right)\left( {1 + {a_{k + 1}}} \right) \ge \left( {1 + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n}} \right)\left( {1 + {a_{k + 1}}} \right) \cr & = 1 + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_k} + {a_{k + 1}} + {a_1}{a_{k + 1}} + {a_2}{a_{k + 1}} + \ldots + {a_k}{a_{k + 1}} \cr}$

Vì ${a_1}{a_{k + 1}} + {a_2}{a_{k + 1}} + ... + {a_k}.{a_{k + 1}} > 0$ nên

$\left( {1 + {a_1}} \right)\left( {1 + {a_2}} \right)...\left( {1 + {a_k}} \right)\left( {1 + {a_{k + 1}}} \right) \ge 1 + {a_1} + {a_2} + ... + {a_k} + {a_{k + 1}}$, nghĩa là bất đẳng thức đúng với $n = k + 1.$