Bài 2.1 trang 111 SBT Đại số và giải tích 11: Viết 5 số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của các dãy...

Viết 5 số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số (u_n) biết

a) ${u_n} = {10^{1 - 2n}}$ ;

b) ${u_n} = {3^n} - 7$ ;

c) ${u_n} = {{2n + 1} \over {{n^2}}}$ ;

d) ${u_n} = {{{3^n}\sqrt n } \over {{2^n}}}$    

Giải:

a) ${1 \over {10}},{1 \over {{{10}^3}}},{1 \over {{{10}^5}}},{1 \over {{{10}^7}}},{1 \over {{{10}^9}}}$ Dự đoán dãy (u_n) giảm.

Để chứng minh, ta xét tỉ số ${{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{{{10}^{1 - 2\left( {n + 1} \right)}}} \over {{{10}^{1 - 2n}}}} = {1 \over {{{10}^2}}} < 1$. Vậy dãy số giảm

b) - 4, 2, 20, 74, 236. Xét dấu của hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n}$

c) $3,{3 \over 4},{3 \over 9},{3 \over {16}},{3 \over {25}}$. Làm tương tự câu b).

d) ${3 \over 2},{{9\sqrt 2 } \over 4},{{27\sqrt 3 } \over 8},{{81\sqrt 4 } \over {16}},{{243\sqrt 5 } \over {32}}$ Phần tiếp theo có thể làm tương tự câu a).

Chú ý. Qua bốn bài tập trên, học sinh có thể rút ra nhận xét về tính hợp lí của việc xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n}$ hay tỉ số ${{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}}$ khi khảo sát tính đơn điệu của dãy số.