Bài 2.4 trang 163 SBT Đại số và giải tích 11: Cho hai hàm số...

Cho hai hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ cùng xác định trên khoảng $\left( { - \infty ,a} \right)$. Dùng định nghĩa chứng minh rằng, nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = L$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g\left( x \right) = M$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right).g\left( x \right) = L.M$

Giả sử $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số bất kì thoả mãn ${x_n} < a$ và ${x_n} \to  - \infty$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = L$ nên $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } f\left( {{x_n}} \right) = L$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g\left( x \right) = M$ nên $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } g\left( {{x_n}} \right) = M$

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } f\left( {{x_n}} \right).g\left( {{x_n}} \right) = L.M$

Từ định nghĩa suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right).g\left( x \right) = L.M$