Bài 2.8 trang 164 Sách bài tập Đại số và giải tích 11: Cho hàm số...

Cho hàm số $f\left( x \right) = {{2{x^2} - 15x + 12} \over {{x^2} - 5x + 4}}$ có đồ thị như hình 4 

a)      Dựa vào đồ thị, dự đoán giới hạn của hàm $f\left( x \right)$ số khi $x \to {1^ + }{\rm{ }};{\rm{ }}x \to {1^ - }{\rm{ }};{\rm{ }}x \to {4^ + }{\rm{ }};{\rm{ }}x \to {4^ - }{\rm{ }};{\rm{ }}x \to  + \infty {\rm{ }};{\rm{ }}x \to  - \infty$

b)      Chứng minh dự đoán trên.

a)      Dự đoán :

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = + \infty {\rm{ ; }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = - \infty {\rm{ ; }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = - \infty {\rm{ ;}} \cr & {\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = + \infty {\rm{ ;}}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2{\rm{ ; }}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2. \cr}$ 

b)      Ta có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2{x^2} - 15x + 12} \right) =  - 1 < 0,{\rm{  }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - 5x + 4} \right) = 0$

và ${x^2} - 5x + 4 < 0$ với mọi $x \in \left( {1;4} \right)$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{2{x^2} - 15x + 12} \over {{x^2} - 5x + 4}} =  + \infty$

Vì

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2{x^2} - 15x + 12} \right) = - 1 < 0, \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} - 5x + 4} \right) = 0 \cr}$

và ${x^2} - 5x + 4 > 0$ với mọi x < 1 nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{2{x^2} - 15x + 12} \over {{x^2} - 5x + 4}} =  - \infty$

Vì

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \left( {2{x^2} - 15x + 12} \right) = - 16 < 0, \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \left( {{x^2} - 5x + 4} \right) = 0 \cr}$

và ${x^2} - 5x + 4 > 0$ với mọi x > 4 nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} {{2{x^2} - 15x + 12} \over {{x^2} - 5x + 4}} =  - \infty$

Vì

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {2{x^2} - 15x + 12} \right) = - 16 < 0, \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {{x^2} - 5x + 4} \right) = 0 \cr}$

và ${x^2} - 5x + 4 < 0$ với mọi $x \in \left( {1;4} \right)$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} {{2{x^2} - 15x + 12} \over {{x^2} - 5x + 4}} =  + \infty$ ;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{2{x^2} - 15x + 12} \over {{x^2} - 5x + 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{2 - {{15} \over x} + {{12} \over {{x^2}}}} \over {1 - {5 \over x} + {4 \over {{x^2}}}}} = 2$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{2{x^2} - 15x + 12} \over {{x^2} - 5x + 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{2 - {{15} \over x} + {{12} \over {{x^2}}}} \over {1 - {5 \over x} + {4 \over {{x^2}}}}} = 2$