Bài 2.9 trang 164 SBT Đại số và giải tích 11: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f(x) có giới hạn...

Cho hàm số 

$f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {1 \over {x - 1}} - {3 \over {{x^3} - 1}}{\rm{ , nếu\,\, }}x > 1 \hfill \cr mx + 2{\rm{ }},\,{\rm{ nếu }}\,x \le 1 \hfill \cr} \right.$

Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f(x) có giới hạn khi $x \to 1$ ? Tìm giới hạn này.

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{1 \over {x - 1}} - {3 \over {{x^3} - 1}}} \right) \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{x^2} + x - 2} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{x + 2} \over {{x^2} + x + 1}} = 1 \cr}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {mx + 2} \right) = m + 2$ 

$f\left( x \right)$ có giới hạn khi $x \to 1 \Leftrightarrow m + 2 = 1 \Leftrightarrow m =  - 1$. Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 1$