Cho hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{1 \over {x – 1}} – {3 \over {{x^3} – 1}}{\rm{ , nếu\,\, }}x > 1 \hfill \cr
mx + 2{\rm{ }},\,{\rm{ nếu }}\,x \le 1 \hfill \cr} \right.\)
Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f(x) có giới hạn khi \(x \to 1\) ? Tìm giới hạn này.
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{1 \over {x – 1}} – {3 \over {{x^3} – 1}}} \right) \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{x^2} + x – 2} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{x + 2} \over {{x^2} + x + 1}} = 1 \cr} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {mx + 2} \right) = m + 2\)
\(f\left( x \right)\) có giới hạn khi \(x \to 1 \Leftrightarrow m + 2 = 1 \Leftrightarrow m = – 1\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 1\)