Bài 3.11 trang 141 Sách bài tập Hình học 11: Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC....

Cho hình chóp A.ABC có $SA = SB = SC = AB = AC = a$ và $BC = a\sqrt 2$. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

Cách thứ nhất

Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A nên $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  = 0$ và tam giác SAB đều nên $\left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AB} } \right) = {120^0}$.

$\eqalign{ & \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AB} \cr & = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \cr & \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos 120^\circ = - {{{a^2}} \over 2} \cr & \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = {{\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} } \over {\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} \cr & = {{ - {{{a^2}} \over 2}} \over {{a^2}}} = - {1 \over 2} \cr}$

Do đó góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 60°

Cách thứ hai

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB. AC. Để tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB, ta cần tính $\widehat {NMP}$.

Ta có

$NB = MP = {a \over 2},S{P^2} = {{3{a^2}} \over 4},B{P^2} = {{5{a^2}} \over 4}$

$P{B^2} + S{P^2} = 2N{P^2} + {{S{B^2}} \over 2} \Rightarrow N{P^2} = {{3{{\rm{a}}^2}} \over 4}$

Mặt khác:

$N{P^2} = N{M^2} + M{P^2} - 2MN.MP\cos \widehat {NMP}$

$\Rightarrow \cos \widehat {NMP} =  - {{{{{a^2}} \over 4}} \over {2.{a \over 2}.{a \over 2}}} =  - {1 \over 2} \Rightarrow \widehat {NMP} = {120^0}$

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 60°.