Bài 4 trang 171 SBT Đại số và giải tích 11: Chứng minh rằng un > 0 với mọi n....

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi

$\left\{ \matrix{ {u_1} = 1 \hfill \cr {u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}}\,\,{\rm{ với }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.$

a)      Chứng minh rằng ${u_n} > 0$ với mọi n.

b)      Biết $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạnđó.

a)      Chứng minh bằng quy nạp: ${u_n} > 0$ với mọi n.     (1)

-          Với n = 1 ta có ${u_1} = 1 > 0$

-          Giả sử  (1) đúng với $n = k \ge 1$ nghĩa là ${u_k} > 0$ ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1

Ta có ${u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}}$. Vì ${u_k} > 0$ nên ${u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}} > 0$

-          Kết luận: ${u_n} > 0$ với mọi n.

b)      Đặt

$\eqalign{ & \lim {u_n} = a \cr & {u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}} \cr & \Rightarrow \lim {u_{n + 1}} = \lim {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}} \cr & \Rightarrow a = {{2a + 3} \over {a + 2}} \Rightarrow a = \pm \sqrt 3 \cr}$

Vì ${u_n} > 0$ với mọi n, nên $\lim {u_n} = a \ge 0$. Từ đó suy ra $\lim {u_n} = \sqrt 3$