Bài 2 trang 49 Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Tính đạo hàm của các hàm số sau...

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \sin 3x$;

b) $y = {\cos ^3}2x$;

c) $y = {\tan ^2}x$;

d) $y = \cot \left( {4 - {x^2}} \right)$.

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp: $y{‘_x} = y{‘_u}.u{‘_x}$.

a) Đặt $u = 3{\rm{x}}$ thì $y = \sin u$. Ta có: $u{‘_x} = {\left( {3{\rm{x}}} \right)^\prime } = 3$ và $y{‘_u} = {\left( {\sin u} \right)^\prime } = \cos u$.

Suy ra $y{‘_x} = y{‘_u}.u{‘_x} = \cos u.3 = 3\cos 3{\rm{x}}$.

Vậy $y’ = 3\cos 3{\rm{x}}$.

b) Đặt $u = \cos 2{\rm{x}}$ thì $y = {u^3}$. Ta có: $u{‘_x} = {\left( {\cos 2{\rm{x}}} \right)^\prime } = - 2\sin 2{\rm{x}}$ và $y{‘_u} = {\left( {{u^3}} \right)^\prime } = 3{u^2}$.

Suy ra $y{‘_x} = y{‘_u}.u{‘_x} = 3{u^2}.\left( { - 2\sin 2{\rm{x}}} \right) = 3{\left( {\cos 2{\rm{x}}} \right)^2}.\left( { - 2\sin 2{\rm{x}}} \right) = - 6\sin 2{\rm{x}}{\cos ^2}2{\rm{x}}$.

Vậy $y’ = - 6\sin 2{\rm{x}}{\cos ^2}2{\rm{x}}$.

c) Đặt $u = \tan {\rm{x}}$ thì $y = {u^2}$. Ta có: $u{‘_x} = {\left( {\tan {\rm{x}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ và $y{‘_u} = {\left( {{u^2}} \right)^\prime } = 2u$.

Suy ra $y{‘_x} = y{‘_u}.u{‘_x} = 2u.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 2\tan x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)$.

Vậy $y’ = 2\tan x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)$.

d) Đặt $u = 4 - {x^2}$ thì $y = \cot u$. Ta có: $u{‘_x} = {\left( {4 - {x^2}} \right)^\prime } = - 2{\rm{x}}$ và $y{‘_u} = {\left( {\cot u} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{{\sin }^2}u}}$.

Suy ra $y{‘_x} = y{‘_u}.u{‘_x} = - \frac{1}{{{{\sin }^2}u}}.\left( { - 2{\rm{x}}} \right) = \frac{{2{\rm{x}}}}{{{{\sin }^2}\left( {4 - {x^2}} \right)}}$.

Vậy $y’ = \frac{{2{\rm{x}}}}{{{{\sin }^2}\left( {4 - {x^2}} \right)}}$.