Bài 3 trang 120 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Cho hai hình vuông $ABCD$ và $ABEF$ ở trong hai mặt phẳng khác nhau...

Cho hai hình vuông $ABCD$ và $ABEF$ ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo $AC$ và $BF$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $AM = BN$. Các đường thẳng song song với $AB$ vẽ từ $M,N$ lần lượt cắt $AD,AF$ tại $M’,N’$.

a) Chứng minh $\left( {CBE} \right)\parallel \left( {ADF} \right)$.

b) Chứng minh $\left( {DEF} \right)\parallel \left( {MNN’M’} \right)$.

‒ Sử dụng định lí Thalès trong tam giác.

‒ Sử dụng định lí 1: Nếu mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa hai đường thẳng $a,b$ cắt nhau và hai đường thẳng đó cùng song song với mặt phẳng $\left( Q \right)$ thì $\left( P \right)$ song song với $\left( Q \right)$.

a) $ABC{\rm{D}}$ là hình vuông $\Rightarrow AD\parallel BC$

Mà $A{\rm{D}} \subset \left( {ADF} \right)$

$\Rightarrow BC\parallel \left( {A{\rm{D}}F} \right)$

$ABC{\rm{D}}$ là hình vuông $\Rightarrow AF\parallel BE$

Mà $A{\rm{F}} \subset \left( {ADF} \right)$

$\Rightarrow BE\parallel \left( {A{\rm{D}}F} \right)$

Ta có:

$\left. \begin{array}{l}BC\parallel \left( {A{\rm{D}}F} \right)\\BE\parallel \left( {A{\rm{D}}F} \right)\\BC,BE \subset \left( {CBE} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {CBE} \right)\parallel \left( {A{\rm{D}}F} \right)$

b) Do $ABCD$ và $ABEF$ là hai hình vuông có chung cạnh $AB$ nên các đường chéo $AC,BF$ bằng nhau.

Theo đề bài ta có: $AM = BN$

$\Rightarrow$$\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}}$

Ta có:

$MM’\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AM’}}{{A{\rm{D}}}}$

$NN’\parallel AB \Rightarrow \frac{{BN}}{{BF}} = \frac{{AN’}}{{AF}}$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AM’}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{AN’}}{{AF}} \Rightarrow M’N’\parallel DF\\M’N’ \subset \left( {MNN’M’} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow DF\parallel \left( {MNN’M’} \right)$

$\left. \begin{array}{l}NN’\parallel EF\\{\rm{NN}}’ \subset \left( {MNN’M’} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow EF\parallel \left( {MNN’M’} \right)$

$\left. \begin{array}{l}DF\parallel \left( {MNN’M’} \right)\\EF\parallel \left( {MNN’M’} \right)\\C{\rm{D}},DF \subset \left( {DEF} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {DEF} \right)\parallel \left( {MNN’M’} \right)$