Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc cạnh AB. Gọi (α) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng BC và AD. Gọi N,P,Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (α) với các cạnh AC,CD và DB.
a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
b) Trong trường hợp nào thì MNPQ là hình thoi?
Áp dụng định lí 2: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
a) Ta có:
MN=(α)∩(ABC)PQ=(α)∩(BCD)BC=(ABC)∩(BCD)MN∥BC
Advertisements (Quảng cáo)
Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: MN∥PQ∥BC (1).
MQ=(α)∩(ABD)NP=(α)∩(ACD)AD=(ABD)∩(ACD)MQ∥AD
Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: MQ∥NP∥AD (2).
Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình bình hành.
b) Để MNPQ là hình thoi thì MN=NP.
Ta có:
MN∥BC⇒MNBC=ANACNP∥AD⇒NPAD=CNAC⇒MNAD=CNAC
Ta có:
ANAC+CNAC=1⇔MNBC+MNAD=1⇔MN.(1BC+1AD)=1⇔MN.BC+ADBC.AD=1⇔MN=BC.ADBC+AD
Vậy nếu MN=BC.ADBC+AD thì MNPQ là hình thoi.