Hoạt động 1
Quãng đường rơi tự do của một vật được biểu diễn bởi công thức s(t)=4,9t2 với t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét.
Vận tốc trung bình của chuyển động này trên khoảng thời gian [5;t] hoặc [t;5] được tính bằng công thức s(t)−s(5)t−5.
a) Hoàn thiện bảng sau về vận tốc trung bình trong những khoảng thời gian khác nhau. Nêu nhận xét về s(t)−s(5)t−5 khi t càng gần 5.
b) Giới hạn limt→5s(t)−s(5)t−5 được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0=5. Tính giá trị này.
c) Tính giới hạn limt→t0s(t)−s(t0)t−t0 để xác định vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0 nào đó trong quá trình rơi của vật.
a) Thay vào công thức s(t)−s(5)t−5.
b) c) Sử dụng các quy tắc tính giới hạn.
a)
[5;5,1]:t=5,1⇒s(t)−s(5)t−5=4,9.5,12−4,9.525,1−5=49,49[5;5,05]:t=5,05⇒s(t)−s(5)t−5=4,9.5,052−4,9.525,05−5=49,245[5;5,01]:t=5,01⇒s(t)−s(5)t−5=4,9.5,012−4,9.525,01−5=49,049[5;5,001]:t=5,001⇒s(t)−s(5)t−5=4,9.5,0012−4,9.525,001−5=49,0049[4,999;5]:t=4,999⇒s(t)−s(5)t−5=4,9.4,9992−4,9.524,999−5=48,9951[4,99;5]:t=4,99⇒s(t)−s(5)t−5=4,9.4,992−4,9.524,99−5=48,951
Ta thấy: s(t)−s(5)t−5 càng gần 49 khi t càng gần 5.
b)
limt→5s(t)−s(5)t−5=limt→54,9t2−4,9.52t−5=limt→54,9(t2−52)t−5=limt→54,9(t−5)(t+5)t−5=limt→54,9(t+5)=4,9(5+5)=49
c)
Advertisements (Quảng cáo)
limt→t0s(t)−s(t0)t−t0=limt→54,9t2−4,9.t20t−t0=limt→54,9(t2−t20)t−t20=limt→54,9(t−t0)(t+t0)t−t0=limt→54,9(t+t0)=4,9(t0+t0)=9,8t0
Thực hành 1
Tính đạo hàm của hảm số f(x)=x3.
Tính giới hạn f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0.
Với bất kì x0∈R, ta có:
f′(x0)=limx→x0x3−x03x−x0=limx→x0(x−x0)(x2+x.x0+x02)x−x0=limx→x0(x2+x.x0+x02)=x2+x0.x0+x02=3x02
Vậy f′(x)=(x3)′=3x2 trên R.
Vận dụng
Với tình huống trong Hoạt động mở đầu, hãy tính vận tốc tức thời của chuyển động lúc t=2.
Tính v(2)=s′(2) với s(t)=4,9t2.
Với bất kì t0∈R, ta có:
s′(t0)=limt→t0s(t)−s(t0)t−t0=9,8t0
Vậy s′(t)=9,8t trên R.
Vậy vận tốc tức thời của chuyển động lúc t=2 là: v(2)=s′(2)=9,8.2=19,6(m/s)