Giải mục 1 trang 71, 72 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Có nhận xét gì về giá trị của hàm số khi $x$ càng gần đến 1?...

Hoạt động 1

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 2}}{{x - 1}}$.

a) Bảng sau đây cho biết giá trị của hàm số tại một số điểm gần điểm 1.

Có nhận xét gì về giá trị của hàm số khi $x$ càng gần đến 1?

b) Ở Hình 1, $M$ là điểm trên đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$; $H$ và $P$ lần lượt là hình chiếu của điểm $M$ trên trục hoành và trục tung. Khi điểm $H$ thay đổi gần về điểm $\left( {1;0} \right)$ trên trục hoành thì điểm $P$ thay đổi như thế nào?

Quan sát đồ thị và nhận xét.

a) Khi $x$ càng gần đến 1 thì giá trị của hàm số càng gần đến 4.

b) Khi điểm $H$ thay đổi gần về điểm $\left( {1;0} \right)$ trên trục hoành thì điểm $P$ càng gần đến điểm $\left( {0;4} \right)$.

Thực hành 1

Tính các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {2{x^2} - x} \right)$;

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}}$.

Đưa về tính giới hạn của dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ thỏa mãn ${x_n} \to {x_0}$ khi $n \to + \infty$.

a) Đặt $f\left( x \right) = 2{x^2} - x$.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$.

Giả sử $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số bất kì thỏa mãn ${x_n} \to 3$ khi $n \to + \infty$. Ta có:

$\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {2x_n^2 - {x_n}} \right) = 2.\lim x_n^2 - \lim {x_n} = {2.3^2} - 3 = 15$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {2{x^2} - x} \right) = 15$.

b) Đặt $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}}$.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$.

Giả sử $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số bất kì thỏa mãn ${x_n} \to - 1$ khi $n \to + \infty$. Ta có:

$\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \frac{{x_n^2 + 2{x_n} + 1}}{{{x_n} + 1}} = \lim \frac{{{{\left( {{x_n} + 1} \right)}^2}}}{{{x_n} + 1}} = \lim \left( {{x_n} + 1} \right) = \lim {x_n} + 1 = - 1 + 1 = 0$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}} = 0$.