Giải mục 4 trang 116, 117 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$...

Hoạt động 5

Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$, mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $a$ và cắt $\left( P \right)$ theo giao tuyến $b$ (Hình 10). Trong $\left( Q \right)$, hai đường thẳng $a,b$ có bao nhiều điểm chung?

Cho ba mặt phẳng song song $\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)$ lần lượt cắt hai đường thăng $a$ và $a’$ tại các điểm $A,B,C$ và $A’,B’,C’$. Gọi ${B_1}$ là giao điểm của $AC’$ với $\left( Q \right)$ (Hình 12).

a) Trong tam giác $ACC’$, có nhận xét gì về mối liên hệ giữa $\frac{{AB}}{{BC}}$ và $\frac{{A{B_1}}}{{{B_1}C’}}$?

b) Trong tam giác $AA’C’$, có nhận xét gì về mối liên hệ giữa $\frac{{A{B_1}}}{{{B_1}C’}}$ và $\frac{{A’B’}}{{B’C’}}$?

c) Từ đó, nếu nhận xét về mối liên hệ giữa các tỉ số $\frac{{AB}}{{A’B’}},\frac{{BC}}{{B’C’}},\frac{{AC}}{{A’C’}}$.

‒ Sử dụng định lí 3: Cho hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ song song với nhau. Nếu $\left( R \right)$ cắt $\left( P \right)$ thì cắt $\left( Q \right)$ và hai giao tuyến của chúng song song.

‒ Sử dụng định lí Thalès trong tam giác.

‒ Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.

a) Ta có:

$\left. \begin{array}{l}\left( Q \right)\parallel \left( R \right)\\\left( {ACC’} \right) \cap \left( Q \right) = B{B_1}\\\left( {ACC’} \right) \cap \left( R \right) = CC’\end{array} \right\} \Rightarrow B{B_1}\parallel CC’ \Rightarrow \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{A{B_1}}}{{{B_1}C’}}\left( 1 \right)$

b) Ta có:

$\left. \begin{array}{l}\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\\\left( {AA’C’} \right) \cap \left( Q \right) = B{B_1}\\\left( {AA’C’} \right) \cap \left( P \right) = AA’\end{array} \right\} \Rightarrow B{B_1}\parallel AA’ \Rightarrow \frac{{A{B_1}}}{{{B_1}C’}} = \frac{{A’B’}}{{B’C’}}\left( 2 \right)$

c) Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{A’B’}}{{B’C’}} \Rightarrow \frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{BC}}{{B’C’}} = \frac{{AB + BC}}{{A’B’ + B’C’}} = \frac{{AC}}{{A’C’}}$

Vậy $\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{BC}}{{B’C’}} = \frac{{AC}}{{A’C’}}$.

Thực hành 3

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = 9,SB = 12,SC = 15$. Trên cạnh $SA$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $SM = 4,MN = 3,N4 = 2$. Vẽ hai mặt phẳng song song với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, lần lượt đi qua $M,N$, cắt $SB$ theo thứ tự tại $M’,N’$ và cắt $SC$ theo thứ tự tại $M”,N”$. Tính độ dài các đoạn thẳng $SM’,M’N’,{\rm{ }}M”N”,N”C$.

Sử dụng định lí Thalès trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Ta có: $\left( {MM’M”} \right)\parallel \left( {NN’N”} \right)\parallel \left( {ABC} \right)$ nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SM’}}{{SB}} \Leftrightarrow SM’ = \frac{{SM.SB}}{{SA}} = \frac{{4.12}}{9} = \frac{{16}}{3}$

$\frac{{SA}}{{SB}} = \frac{{MN}}{{M’N’}} \Leftrightarrow M’N’ = \frac{{MN.SB}}{{SA}} = \frac{{3.12}}{9} = 4$

$\frac{{SA}}{{SC}} = \frac{{MN}}{{M”N”}} \Leftrightarrow M”N” = \frac{{MN.SC}}{{SA}} = \frac{{3.15}}{9} = 5$

$\frac{{SA}}{{SC}} = \frac{{NA}}{{N”C}} \Leftrightarrow N”C = \frac{{NA.SC}}{{SA}} = \frac{{2.15}}{9} = \frac{{10}}{3}$