Bài 2.3 trang 46 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Xét tính tăng, giảm của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết...

Xét tính tăng, giảm của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết:

a) ${u_n} = 2n - 1$;

b) ${u_n} = - 3n + 2$;

c) ${u_n} = \frac{\left( { - 1} \right)^{n - 1}}{2^n}$

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có ${u_{n + 1}} > {u_n},\;$với mọi $n \in {N^*}$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có ${u_{n + 1}} < {u_n},\;$với mọi $n \in {N^*}$.

a) Ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} =[2\left( {n + 1} \right) - 1] - (2n - 1) = 2\left( {n + 1} \right) - 1 - 2n + 1 = 2 > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\;\forall \;n \in {N^*}$

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

b) Ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = [- 3\left( {n + 1} \right) + 2] - (3n + 2) = - 3\left( {n + 1} \right) + 2 + 3n - 2 = - 3 < 0\;$

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

c, Ta có:

$\begin{array}{l}{u_1} = \frac{{{{( - 1)}^{1 - 1}}}}{{{2^1}}} = \frac{1}{2} > 0\\{u_2} = \frac{{{{( - 1)}^{2 - 1}}}}{{{2^2}}} = - \frac{1}{4} < 0\\{u_3} = \frac{{{{( - 1)}^{3 - 1}}}}{{{2^3}}} = \frac{1}{8} > 0\\{u_4} = \frac{{{{( - 1)}^{4 - 1}}}}{{{2^4}}} = - \frac{1}{{16}} < 0\\...\end{array}$

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số không tăng không giảm.