Bài 2.4 trang 46 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?...

Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) ${u_n} = n - 1$;

b) ${u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}$;

c) ${u_n} = sin\;n\;$;

d) ${u_n} = {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}{n^2}$.

- Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho ${u_n} \le M,\;n \in {N^*}$

- Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số M sao cho ${u_n} \ge m,\;n \in {N^*}$

- Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m \le {u_n} \le M,\;n \in {N^*}$

a) Ta có: $n \ge 1\; \Rightarrow n - 1 \ge 0\; \Rightarrow {u_n} \ge 0,\;\forall \;n \in {N^*}\;$

Do đó, $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn dưới bởi 0.

$\left( {{u_n}} \right)$ không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để $n - 1 < M,\;\forall \;n \in {N^*}$.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}\forall n \in {N^*},{u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} > 0.\\{u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{n + 2 - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1,\forall n \in {N^*}\\ \Rightarrow 0 < {u_n} < 1\end{array}$

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn.

c) Ta có:

$\begin{array}{l} - 1 \le \sin n \le 1\\ \Rightarrow - 1 \le {u_n} \le 1,\forall n \in {N^*}\end{array}$

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn.

d) Ta có:

Nếu n chẵn, ${u_n} = - {n^2} < 0$, $\forall n \in {N^*}$.

Nếu n lẻ, ${u_n} = {n^2} > 0$, $\forall n \in {N^*}$.

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ không bị chặn.