Chứng minh rằng giới hạn \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{x} không tồn tại.
Dùng định nghĩa của biến hội tụ để chứng minh
f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{x}
Advertisements (Quảng cáo)
Ta lấy hai dãy của biến hội tụ về 0: x_n^{\left( 1 \right)} = \frac{1}{n};x_n^{\left( 2 \right)} = - \frac{1}{n}\;
Khi đó: \lim f\left( {x_n^{\left( 1 \right)}} \right) = \lim \left( {\frac{{\frac{1}{n}}}{{\frac{1}{n}}}} \right) = 1
\lim f\left( {x_n^{\left( 2 \right)}} \right) = \lim \left( {\frac{{\frac{1}{n}}}{{ - \frac{1}{n}}}} \right) = - 1
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x_n^{\left( 1 \right)}} \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x_n^{\left( 2 \right)}} \right)
Vậy không tồn tại \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{x}