Bài 6.6 trang 9 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh...

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

a) ${5^{6\sqrt 3 }}$ và ${5^{3\sqrt 6 }};$

b) ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{4}{3}}}$ và $\sqrt 2 {.2^{\frac{2}{3}}}.$

Đưa về so sánh 2 lũy thừa cùng cơ số.

a) ${5^{6\sqrt 3 }}$ và ${5^{3\sqrt 6 }};$

Ta có $6\sqrt 3 = 2.3\sqrt 3 ;3\sqrt 6 = 3.\sqrt {2.3} = \sqrt 2 .3\sqrt 3$ mà $2 > \sqrt 2 \Rightarrow 6\sqrt 3 > 3\sqrt 6$

Do đó ${5^{6\sqrt 3 }} > {5^{3\sqrt 6 }}.$

b) ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{4}{3}}}$ và $\sqrt 2 {.2^{\frac{2}{3}}}.$

Ta có ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{4}{3}}} = {2^{\frac{4}{3}}};\sqrt 2 {.2^{\frac{2}{3}}} = {2^{\frac{1}{2}}}{.2^{\frac{2}{3}}} = {2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}} = {2^{\frac{7}{6}}}$ mà $\frac{4}{3} = \frac{8}{6} > \frac{7}{6} \Rightarrow {2^{\frac{4}{3}}} > {2^{\frac{7}{6}}}$

Do đó ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{4}{3}}} > \sqrt 2 {.2^{\frac{2}{3}}}.$