Giải mục 1 trang 52, 53 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Dãy số không đổi a, a, a, . . có phải là một cấp số nhân không?...

Hoạt động 1

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {3.2^n}$

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số này.

b) Dự đoán hệ thức truy hồi liên hệ giữa ${u_n}$ và ${u_{n - 1}}$.

Thay n tương ứng vào công thức số hạng tổng quát ${u_n}$.

Xét tỷ số $\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}}$ để tìm mối liên hệ giữa ${u_n}$ và ${u_{n - 1}}$.

a) Ta có: ${u_1} = 6,\;\;\;\;{u_2} = 12,\;\;\;\;\;{u_3} = 24,\;\;\;\;\;{u_4} = 48,\;\;\;\;\;{u_5} = 96$.

b) Hệ thức truy hồi liên hệ giữa ${u_n}$ và ${u_{n - 1}}$ là: ${u_n} = 2{u_{n - 1}}$.

Câu hỏi 1

Dãy số không đổi a,a, a,... có phải là một cấp số nhân không?

Để chứng minh dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ gồm các số khác 0 là một cấp số nhân, hãy chứng minh tỷ số $\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}}$ = q không đổi.

Ta thấy tỉ số của các số hạng là $\frac{a}{a} = 1, \forall n \ge 2$.

Như vậy, dãy số không đổi a,a, a,... là một cấp số nhân.

Luyện tập 1

Cho dãy số ${u_n}$với ${u_n} = {2.5^n}$. Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.

Để chứng minh dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ gồm các số khác 0 là một cấp số nhân, hãy chứng minh tỷ số $\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}}$ = q không đổi.

Ta có: $\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{2 \times {5^n}}}{{2 \times {5^{n - 1}}}} = \frac{{2 \times {5^n}}}{{2 \times {5^{n}.5^{- 1}}}} = 5,\;\forall n \ge 2$.

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân với ${u_1} = 10$ và công bội $q = 5$.