Chứng minh rằng :. Câu 11 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - ÔN TẬP CUỐI NĂM ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Ta đã biết cosπ22=12√2.cosπ22=12√2. Chứng minh rằng :
a. cosπ23=12√2+√2
b. cosπ2n=12√2+√2+√.......+√2⏟n−1 dấu căn (1) với mọi số nguyên n ≥ 2.
a.
cos2π23=cos2π8=1+cosπ42=1+√222=2+√24⇒cosπ23=12√2+√2
Advertisements (Quảng cáo)
b. Với n = 2 ta có cosπ4=12√2(1) đúng.
Giả sử (1) đúng với n = k tức là :
cosπ2k=12√2+√2+...+√2 (k – 1 dấu căn)
Với n = k + 1 ta có
cos2π2k+1=12(1+cosπ2k)=12(1+12√2+√2+...+√2)=14(2+√2+√2+...+√2)⇒cosπ2k+1=12√2+√2+...+√2(k dấu căn)
Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với ∀n≥2.