Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 Nâng cao (sách cũ) Câu 12 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng...

Câu 12 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Cho dãy số (un) xác định bởi...

Cho dãy số (un) xác định bởi. Câu 12 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - ÔN TẬP CUỐI NĂM ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Cho dãy số (un) xác định bởi

\({u_1} = 3\,\text{ và }\,{u_n} = 4{u_{n - 1}} - 1\) với mọi n ≥ 2

Chứng minh rằng :

a. \({u_n} = {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3}\)  (1)  với mọi số nguyên  n ≥ 1

b. (u­n) là môt dãy số tăng.

a. Với n = 1 ta có \({u_1} = 3 = {{{2^3} + 1} \over 3}\)

(1) đúng với n = 1

Advertisements (Quảng cáo)

Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có : \({u_k} = {{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3}\)

Với n = k + 1 ta có :

\(\eqalign{  & {u_{k + 1}} = 4{u_k} - 1 = 4.{{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3} - 1 = {{4\left( {{2^{2k + 1}} + 1} \right) - 3} \over 3}  \cr  &  = {{{2^{2k + 3}} + 1} \over 3} = {{{2^{2\left( {k + 1} \right)+1}} + 1} \over 3} \cr} \)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với ∀ n ≥ 1

b. Ta có:

\(\eqalign{  & {u_{n + 1}} - {u_n} = {{{2^{2n + 3}} + 1} \over 3} - {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3} = {{{2^{2n + 1}}\left( {{2^2} - 1} \right)} \over 3}  \cr  &  = {2^{2n + 1}} > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \cr} \)

⇒ (un) là dãy số tăng.

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 11 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)