Advertisements (Quảng cáo)
Bài 30. Giải các phương trình sau :
a. \(3\cos x + 4\sin x = -5\)
b. \(2\sin2x – 2\cos2x = \sqrt 2 \)
c. \(5\sin2x – 6\cos^2 x = 13\)
a. Chia hai vế phương trình cho \(\sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\) ta được :
\(\eqalign{
& {3 \over 5}\cos x + {4 \over 5}\sin x = – 1 \Leftrightarrow \cos x\cos \alpha + \sin x\sin \alpha = – 1 \cr
& \left( {\text{ trong đó }\,\cos \alpha = {3 \over 5}\text { và }\,\sin \alpha = {4 \over 5}} \right) \cr
& \text{ Ta có }\,\,\cos \left( {x – \alpha } \right) = – 1 \Leftrightarrow x – \alpha = \pi + k2\pi \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x = \pi + \alpha + k2\pi ,k \in Z \cr} \)
b. Chia hai vế phương trình cho \(\sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \) ta được :
\(\eqalign{& {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2x – {1 \over {\sqrt 2 }}\cos 2x = {1 \over 2} \Leftrightarrow \sin 2x\cos {\pi \over 4} – \cos 2x\sin {\pi \over 4} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {2x – {\pi \over 4}} \right) = {1 \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x – {\pi \over 4} = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {2x – {\pi \over 4} = \pi – {\pi \over 6} + k2\pi } \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {{5\pi } \over {24}} + k\pi } \cr {x = {{13\pi } \over {24}} + k\pi } \cr} } \right.k \in \mathbb Z \cr} \)
c.
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{
& 5\sin 2x – 6{\cos ^2}x = 13 \Leftrightarrow 5\sin 2x – 3\left( {1 + \cos 2x} \right) = 13 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 5\sin 2x – 3\cos 2x = 16 \cr} \)
Chia cả hai vế cho \(\sqrt {{5^2} – {3^2}} = \sqrt {34} \) ta được :
\({5 \over {\sqrt {34} }}\sin 2x – {3 \over {\sqrt {34} }}\cos 2x = {{16} \over {\sqrt {34} }}\)
Do \({\left( {{5 \over {\sqrt {34} }}} \right)^2} + {\left( {{3 \over {\sqrt {34} }}} \right)^2} = 1\) nên ta chọn được số \(α\) sao cho :
\(\cos \alpha = {5 \over {\sqrt {34} }}\,\text{ và }\,\sin \alpha = {3 \over {\sqrt {34} }}\)
Ta có: \(5\sin 2x – 6{\cos ^2}x = 13 \Leftrightarrow \sin \left( {2x – \alpha } \right) = {{16} \over {\sqrt {34} }} > 1\)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.