Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 1.48 trang 16 sách bài tập Đại số và Giải tích...

Câu 1.48 trang 16 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao...

Câu 1.48 trang 16 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Do đó . Bài 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

Giải phương trình \(\left( {2\sin x – 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 – 4{\cos ^2}x\)

Giải

\(\eqalign{
& \left( {2\sin x – 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 – 4{\cos ^2}x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr
& \Leftrightarrow 4\sin x\sin 2x + 2\sin x – 2\sin 2x – 1 \cr&\;\;\;\;\;= 3 – 4{\cos ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x\cos x + \sin x – 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x – 2 \cr&\;\;\;\;\;= 0 \cr
& \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x\cos x + \sin x – 2\sin x\cos x – 2{\sin ^2}x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin x\left[ {4\sin x\cos x + 1 – 2\left( {\sin x + \cos x} \right)} \right] = 0 \cr
& \bullet \,\,\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \cr
& \bullet \,\,4\sin x\cos x + 1 – 2\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr} \)

Để giải phương trình (2), ta đặt \(t = \sin x + \cos x\) với \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\) Khi đó \(2\sin x\cos x = {t^2} – 1\) và từ phương trình (2) ta có phương trình \(2{t^2} – 2t – 1 = 0\) với ẩn t. Phương trình này có hai nghiệm \({t_1} = {{1 – \sqrt 3 } \over 2},{t_1} = {{1 + \sqrt 3 } \over 2}.\) Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\)

Quảng cáo

Do đó 

\((2) \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x + \cos x = {t_1} \hfill \cr
\sin x + \cos x = {t_2} \hfill \cr} \right.\)

\(\sin x + \cos x = {t_1} \Leftrightarrow \cos \left( {x – {\pi  \over 4}} \right) = {{1 – \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} \)

\(\Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} \pm \alpha  + k2\pi \) với \(\cos \alpha  = {{1 – \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}.\)

\(\sin x + \cos x = {t_1} \Leftrightarrow \cos \left( {x – {\pi  \over 4}} \right) = {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} \)

\(\Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} \pm \beta  + k2\pi \) với \(\cos \beta  = {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}.\)

Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm \(x = k\pi ,x={\pi  \over 4} \pm \alpha  + 2k\pi \) và \(x={\pi  \over 4} \pm \beta  + 2k\pi \) với \(\alpha \) và \(\beta \) là các số thỏa mãn  \(\cos \alpha  = {{1 – \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}\) và \(\cos \beta  = {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}\) (chẳng hạn \(\alpha  = \arccos {{1 – \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }},\beta  = \arccos {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}\)).

Quảng cáo