Giải phương trình \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\)
Giải
\(\eqalign{
& \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr
& \Leftrightarrow 4\sin x\sin 2x + 2\sin x - 2\sin 2x - 1 \cr&\;\;\;\;\;= 3 - 4{\cos ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x\cos x + \sin x - 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x - 2 \cr&\;\;\;\;\;= 0 \cr
& \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x\cos x + \sin x - 2\sin x\cos x - 2{\sin ^2}x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin x\left[ {4\sin x\cos x + 1 - 2\left( {\sin x + \cos x} \right)} \right] = 0 \cr
& \bullet \,\,\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \cr
& \bullet \,\,4\sin x\cos x + 1 - 2\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr} \)
Để giải phương trình (2), ta đặt \(t = \sin x + \cos x\) với \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\) Khi đó \(2\sin x\cos x = {t^2} - 1\) và từ phương trình (2) ta có phương trình \(2{t^2} - 2t - 1 = 0\) với ẩn t. Phương trình này có hai nghiệm \({t_1} = {{1 - \sqrt 3 } \over 2},{t_1} = {{1 + \sqrt 3 } \over 2}.\) Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\)
Do đó
\((2) \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x + \cos x = {t_1} \hfill \cr
\sin x + \cos x = {t_2} \hfill \cr} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\sin x + \cos x = {t_1} \Leftrightarrow \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} \)
\(\Leftrightarrow x = {\pi \over 4} \pm \alpha + k2\pi \) với \(\cos \alpha = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}.\)
\(\sin x + \cos x = {t_1} \Leftrightarrow \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} \)
\(\Leftrightarrow x = {\pi \over 4} \pm \beta + k2\pi \) với \(\cos \beta = {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}.\)
Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm \(x = k\pi ,x={\pi \over 4} \pm \alpha + 2k\pi \) và \(x={\pi \over 4} \pm \beta + 2k\pi \) với \(\alpha \) và \(\beta \) là các số thỏa mãn \(\cos \alpha = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}\) và \(\cos \beta = {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}\) (chẳng hạn \(\alpha = \arccos {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }},\beta = \arccos {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}\)).