Câu 1.48 trang 16 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao...

Giải phương trình $\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x$

Giải

$\eqalign{ & \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr & \Leftrightarrow 4\sin x\sin 2x + 2\sin x - 2\sin 2x - 1 \cr&\;\;\;\;\;= 3 - 4{\cos ^2}x \cr & \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x\cos x + \sin x - 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x - 2 \cr&\;\;\;\;\;= 0 \cr & \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x\cos x + \sin x - 2\sin x\cos x - 2{\sin ^2}x = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin x\left[ {4\sin x\cos x + 1 - 2\left( {\sin x + \cos x} \right)} \right] = 0 \cr & \bullet \,\,\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \cr & \bullet \,\,4\sin x\cos x + 1 - 2\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr}$

Để giải phương trình (2), ta đặt $t = \sin x + \cos x$ với $\left| t \right| \le \sqrt 2 .$ Khi đó $2\sin x\cos x = {t^2} - 1$ và từ phương trình (2) ta có phương trình $2{t^2} - 2t - 1 = 0$ với ẩn t. Phương trình này có hai nghiệm ${t_1} = {{1 - \sqrt 3 } \over 2},{t_1} = {{1 + \sqrt 3 } \over 2}.$ Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện $\left| t \right| \le \sqrt 2 .$

Do đó 

$(2) \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \sin x + \cos x = {t_1} \hfill \cr \sin x + \cos x = {t_2} \hfill \cr} \right.$

$\sin x + \cos x = {t_1} \Leftrightarrow \cos \left( {x - {\pi  \over 4}} \right) = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}$

$\Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} \pm \alpha  + k2\pi$ với $\cos \alpha  = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}.$

$\sin x + \cos x = {t_1} \Leftrightarrow \cos \left( {x - {\pi  \over 4}} \right) = {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}$

$\Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} \pm \beta  + k2\pi$ với $\cos \beta  = {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}.$

Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm $x = k\pi ,x={\pi  \over 4} \pm \alpha  + 2k\pi$ và $x={\pi  \over 4} \pm \beta  + 2k\pi$ với $\alpha$ và $\beta$ là các số thỏa mãn  $\cos \alpha  = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}$ và $\cos \beta  = {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}$ (chẳng hạn $\alpha  = \arccos {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }},\beta  = \arccos {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}$).