Cho phương trình \(\cos 2x - \left( {2m + 1} \right)\cos x + m + 1 = 0\)
a) Giải phương trình với \(m = {3 \over 2}\)
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm \(x \in \left( {{\pi \over 2};{{3\pi } \over 2}} \right)\)
Giải
Phương trình đã cho có thể viết thành \(2{\cos ^2}x - \left( {2m + 1} \right)\cos x + m = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình này tương đương với \(\left[ \matrix{ \cos x = {1 \over 2} \hfill \cr \cos x = m \hfill \cr} \right.\)
a) Với \(m = {3 \over 2}\) thì phương trình \(\cos x = m\) vô nghiệm; phương trình \(\cos x = {1 \over 2}\) có các nghiệm \(x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi .\) Đó cũng là các nghiệm của phương trình đã cho.
b) Do các nghiệm của phương trình \(\cos x = {1 \over 2}\) không thuộc khoảng \(\left( {{\pi \over 2};{{3\pi } \over 2}} \right)\) nên phương trình đã cho có nghiệm \(x \in \left( {{\pi \over 2};{{3\pi } \over 2}} \right)\) khi và chỉ khi phương trình \(\cos x = m\) có nghiệm \(x \in \left( {{\pi \over 2};{{3\pi } \over 2}} \right)\). Điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu \( - 1 < m < 0\)