Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 1.49 trang 16 SBT Đại số nâng cao lớp 11

Câu 1.49 trang 16 SBT Đại số nâng cao lớp 11...

Câu 1.49 trang 16 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. \( \Leftrightarrow \left( {\cos 2x – 1} \right)\left[ {4{{\cos }^2}2x – \left( {m + 3} \right)} \right] = 0 \). Bài 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

Hãy xác định các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm \(x \in \left( {0;{\pi  \over {12}}} \right)\) \(\cos 4x = {\cos ^2}3x + m{\sin ^2}x\)

Giải

Ta có:

\(\eqalign{
 \cos 6x &= \cos \left( {2x + 4x} \right) \cr&= \cos 2x\cos 4x – \sin 2x\sin 4x \cr
& = \cos 2x\left( 2{{{\cos }^2}2x – 1} \right) – 2{\sin ^2}2x\cos 2x \cr
&  = 2{\cos ^3}2x – \cos 2x – 2\left( {1 – {{\cos }^2}2x} \right)\cos 2x \cr&= 4{\cos ^3}2x – 3\cos 2x \cr} \)

Áp dụng kết quả đó, phương trình đã cho có thể biến đổi như sau:

Quảng cáo

\(\eqalign{& \cos 4x = {\cos ^2}3x + m{\sin ^2}x \cr&\Leftrightarrow \cos 4x = {{1 + \cos 6x} \over 2} + {{m\left( {1 – \cos 2x} \right)} \over 2} \cr
& \Leftrightarrow 2\left( {2{{\cos }^2}2x – 1} \right) = 1 + \cos 6x + m – m\cos 2x \cr
& \Leftrightarrow 4{\cos ^2}2x – 2 = 1 + 4{\cos ^3}2x – 3\cos 2x + m \cr&\;\;\;= m\cos 2x \cr
& \Leftrightarrow 4{\cos ^3}2x – 4{\cos ^2}2x – \left( {m + 3} \right)\cos 2x + m + 3 \cr&\;\;\;\;= 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left( {\cos 2x – 1} \right)\left[ {4{{\cos }^2}2x – \left( {m + 3} \right)} \right] = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 1 \hfill \cr
4{\cos ^2}2x = \left( {m + 3} \right) \hfill \cr} \right.\)

Nếu phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;{\pi  \over {12}}} \right)\) thì \(2x \in \left( {0;{\pi  \over 6}} \right)\),

Suy ra \({{\sqrt 3 } \over 2} < \cos 2x < 1\) và \({3 \over 4} < {\cos ^2}2x < 1\), nghĩa là \(3 < m + 3 < 4\) hay \(0 < m < 1\)

Ngược lại, dễ thấy rằng nếu \(0 < m < 1\) thì phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;{\pi  \over {12}}} \right)\)

sacbaitap.com

Quảng cáo