Câu 1.49 trang 16 SBT Đại số nâng cao lớp 11...

Hãy xác định các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm $x \in \left( {0;{\pi  \over {12}}} \right)$ $\cos 4x = {\cos ^2}3x + m{\sin ^2}x$

Giải

Ta có:

$\eqalign{  \cos 6x &= \cos \left( {2x + 4x} \right) \cr&= \cos 2x\cos 4x - \sin 2x\sin 4x \cr & = \cos 2x\left( 2{{{\cos }^2}2x - 1} \right) - 2{\sin ^2}2x\cos 2x \cr &  = 2{\cos ^3}2x - \cos 2x - 2\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right)\cos 2x \cr&= 4{\cos ^3}2x - 3\cos 2x \cr}$

Áp dụng kết quả đó, phương trình đã cho có thể biến đổi như sau:

$\eqalign{& \cos 4x = {\cos ^2}3x + m{\sin ^2}x \cr&\Leftrightarrow \cos 4x = {{1 + \cos 6x} \over 2} + {{m\left( {1 - \cos 2x} \right)} \over 2} \cr & \Leftrightarrow 2\left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right) = 1 + \cos 6x + m - m\cos 2x \cr & \Leftrightarrow 4{\cos ^2}2x - 2 = 1 + 4{\cos ^3}2x - 3\cos 2x + m \cr&\;\;\;= m\cos 2x \cr & \Leftrightarrow 4{\cos ^3}2x - 4{\cos ^2}2x - \left( {m + 3} \right)\cos 2x + m + 3 \cr&\;\;\;\;= 0 \cr}$

$\Leftrightarrow \left( {\cos 2x - 1} \right)\left[ {4{{\cos }^2}2x - \left( {m + 3} \right)} \right] = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos 2x = 1 \hfill \cr 4{\cos ^2}2x = \left( {m + 3} \right) \hfill \cr} \right.$

Nếu phương trình có nghiệm $x \in \left( {0;{\pi  \over {12}}} \right)$ thì $2x \in \left( {0;{\pi  \over 6}} \right)$,

Suy ra ${{\sqrt 3 } \over 2} < \cos 2x < 1$ và ${3 \over 4} < {\cos ^2}2x < 1$, nghĩa là $3 < m + 3 < 4$ hay $0 < m < 1$

Ngược lại, dễ thấy rằng nếu $0 < m < 1$ thì phương trình có nghiệm $x \in \left( {0;{\pi  \over {12}}} \right)$

sacbaitap.com