Advertisements (Quảng cáo)
Hãy xác định các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm \(x \in \left( {0;{\pi \over {12}}} \right)\) \(\cos 4x = {\cos ^2}3x + m{\sin ^2}x\)
Giải
Ta có:
\(\eqalign{
\cos 6x &= \cos \left( {2x + 4x} \right) \cr&= \cos 2x\cos 4x – \sin 2x\sin 4x \cr
& = \cos 2x\left( 2{{{\cos }^2}2x – 1} \right) – 2{\sin ^2}2x\cos 2x \cr
& = 2{\cos ^3}2x – \cos 2x – 2\left( {1 – {{\cos }^2}2x} \right)\cos 2x \cr&= 4{\cos ^3}2x – 3\cos 2x \cr} \)
Áp dụng kết quả đó, phương trình đã cho có thể biến đổi như sau:
\(\eqalign{& \cos 4x = {\cos ^2}3x + m{\sin ^2}x \cr&\Leftrightarrow \cos 4x = {{1 + \cos 6x} \over 2} + {{m\left( {1 – \cos 2x} \right)} \over 2} \cr
& \Leftrightarrow 2\left( {2{{\cos }^2}2x – 1} \right) = 1 + \cos 6x + m – m\cos 2x \cr
& \Leftrightarrow 4{\cos ^2}2x – 2 = 1 + 4{\cos ^3}2x – 3\cos 2x + m \cr&\;\;\;= m\cos 2x \cr
& \Leftrightarrow 4{\cos ^3}2x – 4{\cos ^2}2x – \left( {m + 3} \right)\cos 2x + m + 3 \cr&\;\;\;\;= 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow \left( {\cos 2x – 1} \right)\left[ {4{{\cos }^2}2x – \left( {m + 3} \right)} \right] = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 1 \hfill \cr
4{\cos ^2}2x = \left( {m + 3} \right) \hfill \cr} \right.\)
Nếu phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;{\pi \over {12}}} \right)\) thì \(2x \in \left( {0;{\pi \over 6}} \right)\),
Suy ra \({{\sqrt 3 } \over 2} < \cos 2x < 1\) và \({3 \over 4} < {\cos ^2}2x < 1\), nghĩa là \(3 < m + 3 < 4\) hay \(0 < m < 1\)
Ngược lại, dễ thấy rằng nếu \(0 < m < 1\) thì phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;{\pi \over {12}}} \right)\)
sacbaitap.com