Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 1.45 trang 15 SBT Đại số nâng cao lớp 11

Câu 1.45 trang 15 SBT Đại số nâng cao lớp 11...

Câu 1.45 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Bài 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng \(\left( {{\pi  \over 4};{{5\pi } \over 4}} \right)\) rồi tìm giá trị gần đúng của chúng, chính xác đến hàng phần trăm:

           \(\cos x + \sin x + {1 \over {\sin x}} + {1 \over {\cos x}} = {{10} \over 3}\)

Giải

Ta có:      \(\cos x + \sin x + {1 \over {\sin x}} + {1 \over {\cos x}} = {{10} \over 3}\)

               \( \Leftrightarrow \cos x + \sin x + {{\sin x + \cos x} \over {\sin x\cos x}} = {{10} \over 3}\)

Đặt \(t = \cos x + \sin x\)  với \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\) Khi đó \(\sin x\cos x = {{{t^2} – 1} \over 2}\) và phương trình trở thành

                \(t + {{2t} \over {{t^2} – 1}} = {{10} \over 3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

Quảng cáo

Với điều kiện \(t \ne  \pm 1,\) ta có:

\((1) \Leftrightarrow 3{t^2} – 10{t^2} + 3t + 10 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {t – 2} \right)\left( {3{t^2} – 4t – 5} \right) = 0\)

Phương trình này có ba nghiệm \({t_1} = 2,{t_2} = {{2 + \sqrt {19} } \over 3}\) và \({t_3} = {{2 – \sqrt {19} } \over 3}.\)

Tuy nhiên, chỉ có \({t_3} = {{2 – \sqrt {19} } \over 3}\) là thỏa mãn điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\) Do đó phương trình đa cho tương đương với \(\cos x + \sin x = {{2 – \sqrt {19} } \over 3}\) hay

              \(\cos \left( {x – {\pi  \over 4}} \right) = {{2 – \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

Điều kiện  \({\pi  \over 4} < x < {{5\pi } \over 4}\) tương đương với điều kiện \(0 < x   – {\pi  \over 4} < \pi .\) Với điều kiện đó ta có

\((2) \Leftrightarrow x – {\pi  \over 4} = \arccos {{2 – \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\)

       \(\Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + \arccos {{2 – \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\)

Lấy các giá trị gần đúng \({\pi  \over 4} \approx 0,785\) và \(\arccos {{2 – \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }} \approx 2,160\) ta được \(x \approx 2,95.\)

Quảng cáo