Câu 1.45 trang 15 SBT Đại số nâng cao lớp 11...

Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng $\left( {{\pi  \over 4};{{5\pi } \over 4}} \right)$ rồi tìm giá trị gần đúng của chúng, chính xác đến hàng phần trăm:

           $\cos x + \sin x + {1 \over {\sin x}} + {1 \over {\cos x}} = {{10} \over 3}$

Giải

Ta có:      $\cos x + \sin x + {1 \over {\sin x}} + {1 \over {\cos x}} = {{10} \over 3}$

               $\Leftrightarrow \cos x + \sin x + {{\sin x + \cos x} \over {\sin x\cos x}} = {{10} \over 3}$

Đặt $t = \cos x + \sin x$  với $\left| t \right| \le \sqrt 2 .$ Khi đó $\sin x\cos x = {{{t^2} - 1} \over 2}$ và phương trình trở thành

                $t + {{2t} \over {{t^2} - 1}} = {{10} \over 3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

Với điều kiện $t \ne  \pm 1,$ ta có:

$(1) \Leftrightarrow 3{t^2} - 10{t^2} + 3t + 10 = 0$

$\Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {3{t^2} - 4t - 5} \right) = 0$

Phương trình này có ba nghiệm ${t_1} = 2,{t_2} = {{2 + \sqrt {19} } \over 3}$ và ${t_3} = {{2 - \sqrt {19} } \over 3}.$

Tuy nhiên, chỉ có ${t_3} = {{2 - \sqrt {19} } \over 3}$ là thỏa mãn điều kiện $\left| t \right| \le \sqrt 2 .$ Do đó phương trình đa cho tương đương với $\cos x + \sin x = {{2 - \sqrt {19} } \over 3}$ hay

              $\cos \left( {x - {\pi  \over 4}} \right) = {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

Điều kiện  ${\pi  \over 4} < x < {{5\pi } \over 4}$ tương đương với điều kiện $0 < x   - {\pi  \over 4} < \pi .$ Với điều kiện đó ta có

$(2) \Leftrightarrow x - {\pi  \over 4} = \arccos {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}$

       $\Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + \arccos {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}$

Lấy các giá trị gần đúng ${\pi  \over 4} \approx 0,785$ và $\arccos {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }} \approx 2,160$ ta được $x \approx 2,95.$