Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 Nâng cao (sách cũ) Câu 31 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng...

Câu 31 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo, chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng...

Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo, chuyển động
lên xuống qua vị trí cân bằng
. Câu 31 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - Bài 3. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

Bài 31. Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo, chuyển động   

Khoảng cách

lên xuống qua vị trí cân bằng (h. 1.27).

\(h\) từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thời điểm \(t\) giây

được tính theo công thức \(h = |d|\) trong đó

\(d = 5\sin6t – 4\cos6t\),

với \(d\) được tính bằng xentimet, ta quy ước rằng \(d > 0\)

khi vật ở phía trên vị trí cân bằng, \(d < 0\) khi vật ở phía

dưới vị trí cân bằng. Hỏi :

a. Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở vị trí cân bằng ?

b. Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở xa vị trí cân bằng nhất ?

(Tính chính xác đến \({1 \over {100}}\) giây).

Ta có:\(5\sin 6t - 4cos6t = \sqrt {41} \left( {{5 \over {\sqrt {41} }}\sin 6t - {4 \over {\sqrt {41} }}\cos 6t} \right) = \sqrt {41} \sin \left( {6t - \alpha } \right)\) , trong đó số \(α\) được chọn sao cho \(\cos \alpha = {5 \over {\sqrt {41} }}\,\text{ và }\,\sin \alpha = {4 \over {\sqrt {41} .}}\) Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta chọn được \(α ≈ 0,675\).

Advertisements (Quảng cáo)

a. Vật ở vị trí cân bằng khi \(d = 0\), nghĩa là \(\sin(6t – α) = 0\)

\( \Leftrightarrow t = {\alpha \over 6} + k{\pi \over 6}\) (với \(k \in\mathbb Z\))

Ta cần tìm \(k\) nguyên dương sao cho \(0 ≤ t ≤ 1\)

\(0 ≤ t ≤ 1 ⇔  0 \le {\alpha \over 6} + k{\pi \over 6} \le 1 \Leftrightarrow - {\alpha \over \pi } \le k \le {{6 - \alpha } \over \pi }\)

Với \(α ≈ 0,675\), ta thu được \(-0,215 < k < 1\), nghĩa là . Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở vị trí cân bằng là :

\(t \approx {\alpha \over 6} \approx 0,11\) (giây) và \(t = {\alpha \over 6} + {\pi \over 6} \approx 0,64\) (giây)

b. Vật ở xa vị trí cân bằng nhất khi và chỉ khi \(|d|\) nhận giá trị lớn nhất.

Điều đó xảy ra nếu \(\sin(6t – α) = ± 1\). Ta có :

\(\sin \left( {6t - \alpha } \right) = \pm 1 \Leftrightarrow \cos \left( {6t - \alpha } \right) = 0 \Leftrightarrow {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} + k{\pi \over 6}\) 

Ta tìm k nguyên dương sao cho \(0 ≤ t ≤ 1\)

\(\eqalign{
& 0 \le t \le 1 \Leftrightarrow 0 \le {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} + k{\pi \over 6} \le 1 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow - {\alpha \over \pi } - {1 \over 2} \le k \le {{6 - \alpha } \over \pi } - {1 \over 2} \cr} \)

Với \(α ≈ 0,675\), ta thu được \(-0,715 < k < 1,2\); nghĩa là \(k \in {\rm{\{ }}0;1\} \). Vậy trong khoảng 1 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất là :

\(t = {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} \approx 0,37\,\left( {giay} \right)\,va\,t = {\alpha \over 6} + {\pi \over {12}} + {\pi \over 6} \approx 0,90\,\left( \text{giây} \right)\)

 Baitapsgk.com

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 11 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)