Câu 7 trang 100 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Chứng minh rằng...

Bài 7. Cho số thực $x > -1$. Chứng minh rằng :

${\left( {1 + x} \right)^n} \ge 1 + nx$   (1)

Với mọi số nguyên dương n.

+) Với $n = 1$, ta có  ${\left( {1 + x} \right)^1} = 1 + x = 1 + 1.x$

Như vậy, ta có (1) đúng khi $n = 1$

+) Giả sử đã có (1) đúng khi $n = k, k \in \mathbb N^*$, tức là: 

${\left( {1 + x} \right)^k} \ge 1 + kx$  

+) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi $n = k + 1$.

Thật vậy, từ giả thiết $x > -1$ nên $(1+x)>0$

 Theo giả thiết qui nạp, ta có : ${\left( {1 + x} \right)^k} \ge 1 + kx$   (2)

Nhân hai vế của (2) với $(1+x)$ ta được:

$\eqalign{ & {\left( {1 + x} \right)^{k + 1}} \ge \left( {1 + x} \right)\left( {1 + kx} \right) \cr & = 1 + \left( {k + 1} \right)x + k{x^2} \ge 1 + \left( {k + 1} \right)x \cr}$

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi $n \in \mathbb N^*$.