Bài 2 trang 97 sgk hình học 11: Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc...

Bài 2. Cho hình tứ diện $ABCD$. 

a) Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0.$

b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện $ABCD$ có $AB ⊥ CD$ và $AC ⊥ DB$ thì $AD ⊥ BC$. 

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})$

    $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}.(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})$

    $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}).$

Cộng từng vế ba đẳng thức trên ta được đẳng thức phải chứng minh.

b) $AB ⊥ CD \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0,$

    $AC ⊥ DB \Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=0$

Từ đẳng thức câu a ta có:

$\Rightarrow\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0\Rightarrow AD ⊥ BC$.