Bài 4. Trong không gian cho hai tam giác đều \(ABC\) và \(ABC’\) có chung cạnh \(AB\) và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi \(M, N, P, Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AC, CB, B’C, C’A,\) Chứng minh rắng:
a) \(AB ⊥ CC’\);
b) Tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật.
(h.3.18)
a) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CC’}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AC’}-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC’}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})\)
\(=AB.AC’.\cos60^0-AB.AC.\cos60^0=0\)
\(\Rightarrow AB ⊥ CC’\).
b) Theo giả thiết \(Q,P\) là trung điểm của \(AC’,BC’\) do đó \(QP\) là đường trung bình của tam giác \(ABC’\)
Suy ra: \(QP//AB,QP={1\over 2}AB\) (1)
Chứng minh tương tự ta có:
\(PN//CC’,PN={1\over 2}CC’\)
\(MN//AB,MN={1\over 2}AB\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(MN//QP,MN=QP\). Do đó \(MNPQ\) là hình bình hành.
Ta có: \(MN//AB\), \(PN//CC’\) mà \(AB\bot CC’\) do đó \(MN\bot NP\)
Hình bình hành \(MNPQ\) có một góc vuông nên \(MNPQ\) là hình chữ nhật.