Bài 4 trang 53 sách giáo khoa hình học lớp 11: Bài 1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng...

Bài 4. Cho bốn điểm $A, B, C$ và $D$ không đồng phẳng.  Gọi ${G_{A}}^{}$, ${G_{B}}^{}$, ${G_{C},{G_{D}}^{}}^{}$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $BCD, CDA, ABD, ABC$. Chứng minh rằng, $A{G_{A},B{G_{B},C{G_{C},D{G_{D}}^{}}^{}}^{}}^{}$ đồng quy

Gọi $I$ là trung điểm của $CD$. Ta có $G_{A}\in BI, {G_{B}}\subset AI$. Trong $(ABI)$ gọi  $G = A{G_{A}}$$\cap B{G_{B}}^{}$.

Dễ thấy $\frac{I{G_{A}}^{}}{IB}$ = $\frac{I{G_{B}}^{}}{IA} = \frac{1}{3}$ nên ${G_{A}}^{}$ ${G_{B}}^{} // AB$ và $\frac{GA}{G{G_{A}}^{}}$ = $\frac{AB}{{G_{A}{G_{B}}^{}}^{}}$ = 3

Lí luận tương tự, ta có $C{G_{C}}^{},D{G_{D}}^{}$ cũng cắt $A{G_{A}}^{}$ tại $G’$, $G”$ và $\frac{G’A}{G'{G_{A}}^{}}$ = 3, $\frac{G”A}{G”{G_{A}}^{}}= 3$

Như vậy $G ≡ G’ ≡ G”$.