Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 (sách cũ) Bài 5 trang 83 Toán 11: Bài 1. Phương pháp quy nạp...

Bài 5 trang 83 Toán 11: Bài 1. Phương pháp quy nạp Toán học...

Bài 5 trang 83 sgk toán 11: Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học. Bài 5. Chứng minh rằng

Bài 5. Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi \(n\) cạnh là \({{n(n - 3)} \over 2}\)

:

Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi \(n \in{\mathbb N}^*\), \(n ≥ 4\).

Với \(n = 4\), ta có tứ giác nên nó có hai đường chéo.

Mặt khác thay \(n = 4\) vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là: \({{4(4 - 3)} \over 2} = 2\)

Vậy khẳng định đúng với \(n= 4\).

Advertisements (Quảng cáo)

Giả sử khẳng định đúng với \(n = k ≥ 4\), tức là đa giác lồi \(k\) cạnh có số đường chéo là \({{k(k - 3)} \over 2}\)

Ta phải chứng minh khẳng định đúng với \(n = k + 1\). Nghĩa là phải chứng minh đa giác lồi \(k + 1\) cạnh có số đường chéo là \({{(k + 1)((k + 1) - 3)} \over 2}\)
Xét đa giác lồi \(k + 1\) cạnh 
Nối \(A_1\) và \(A_k\), ta được đa giác \(k\) cạnh \(A_1A_2...A_k\) có \({{k(k - 3)} \over 2}\) đường chéo (giả thiết quy nạp). Nối \(A_{k+1}\) với các đỉnh \(A_1,A_2..A_{k-1}\), ta được thêm \(k -2\) đường chéo, ngoài ra \(A_1A_k\) cũng là một đường chéo.

Vậy số đường chéo của đa giác \(k + 1\) cạnh là

   \({{k(k - 3)} \over 2}+ k - 2 + 1 ={{{k^2} - k - 2} \over 2} = {{(k + 1)((k + 1) - 3)} \over 2}\)

Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác \(k + 1\) cạnh

Vậy bài toán đã được chứng minh.

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 11 (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)