Câu 9 trang 177 SGK Đại số 11: Tính góc giữa hai tiếp tuyến...

Bài 9. Cho hai hàm số: $y = {1 \over {x\sqrt 2 }};y = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }}$ . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.

_ ${C_1}:y = f(x) = {1 \over {x\sqrt 2 }} \Rightarrow f'(x) =  - {1 \over {{x^2}\sqrt 2 }}$

_ ${C_2}:y = g(x) = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }} \Rightarrow g'(x) = {{2x} \over {\sqrt 2 }} = x\sqrt 2$

_  Phương trình hoành độ giao điểm của (C₁) và (C₂) là:

${1 \over {x\sqrt 2 }} = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ne 0 \hfill \cr {x^3} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = {1 \over {\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}$

Vậy giao điểm của (C₁) và (C₂) là $A(1,{{\sqrt 2 } \over 2})$

_ Phương trình tiếp tuyến của (C₁) tại điểm A là:

$\eqalign{ & y - {{\sqrt 2 } \over 2} = f'(1)(x - 1) \Leftrightarrow y - {{\sqrt 2 } \over 2} = - {1 \over {\sqrt 2 }}(x - 1) \cr & \Leftrightarrow y = - {x \over {\sqrt 2 }} + \sqrt 2 \cr}$

Tiếp tuyến này có hệ số góc $k_1= {{ - 1} \over {\sqrt 2 }}$

_ Phương trình tiếp tuyến của (C₂) tại điểm $A$ là:

$\eqalign{ & y - {{\sqrt 2 } \over 2} = g'(1)(x - 1) \Leftrightarrow y - {{\sqrt 2 } \over 2} = \sqrt 2 (x - 1) \cr & \Leftrightarrow y = x\sqrt 2 - {{\sqrt 2 } \over 2} \cr}$

Tiếp tuyến này có hệ số góc $k_2= \sqrt 2$

_ Ta có: ${k_1}.{k_2} = ( - {1 \over {\sqrt 2 }})(\sqrt 2 ) =  - 1$

⇒ Hai tiếp tuyến nói trên vuông góc với nhau

⇒ góc giữa hai tiếp tuyến bằng $90^0$.