Câu hỏi 3 trang 150 Đại số và Giải tích 11: Tính f’(1)....

a) Vẽ đồ thị của hàm số f(x) = ${{{x^2}} \over 2}$

b) Tính f’(1).

c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm M(1; ${1 \over 2}$) và có hệ số góc bằng f’(1). Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho.

- Giả sử Δx là số gia của đối số tại x_o = 1. Ta có:

$\eqalign{ & \Delta y = f(1 + \Delta x) - f(1) = {{{{(1 + \Delta x)}^2}} \over 2} - {{{1^2}} \over 2} = {{{{(\Delta x)}^2} + 2\Delta x} \over 2} \cr & \Rightarrow {{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{{{(\Delta x)}^2} + 2\Delta x} \over 2}:\Delta x = {{\Delta x} \over 2} + 1 \cr & \Rightarrow f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta x} \over 2} + 1 = 0 + 1 = 1 \cr}$

- Đường thẳng có hệ số góc bằng f'(1) = 1 có dạng:

y = 1.x + a hay y = x + a

Mà đường thẳng đó đi qua điểm M(1;1/2) nên có: ${1 \over 2}$ = 1 + a ⇒ a = ${1 \over 2}$ - 1 = -${1 \over 2}$

⇒ đường thẳng đi qua M và có hệ số góc bằng 1 là: y = x – ${1 \over 2}$

Ta có đồ thị như trên. Đường thẳng y = x – ${1 \over 2}$ tiếp xúc với đồ thị hàm số f(x) tại M