Câu hỏi 6 trang 153 SGK Đại số và Giải tích 11: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số:...

Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số:

a) f(x) = x² tại điểm x bất kì;

b) g(x) = \({1 \over x}\) tại điểm bất kì x ≠ 0.

- Tính \( \Delta y \) theo \( \Delta x \).

- Tính tỉ số \({{\Delta y} \over {\Delta x}}\).

- Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} \) và kết luận.

a) Giả sử Δx là số gia của đối số tại x_o bất kỳ. Ta có:

\(\eqalign{
& \Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) \cr
& = {({x_0} + \Delta x)^2} - {x_0}^2 = 2{x_0}\Delta x + {(\Delta x)^2} \cr
& \Rightarrow {{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{2{x_0}\Delta x + {{(\Delta x)}^2}} \over {\Delta x}} = 2{x_0} + \Delta x \cr
& \Rightarrow y'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (2{x_0} + \Delta x) = 2{x_0} \cr} \)

b) Giả sử Δx là số gia của đối số tại x_o bất kỳ. Ta có:

\(\eqalign{
& \Delta y = g({x_0} + \Delta x) - g({x_0}) \cr
& = {1 \over {{x_0} + \Delta x}} - {1 \over {{x_0}^2}} = {{ - \Delta x} \over {{x_0}({x_0} + \Delta x)}} \cr
& \Rightarrow {{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{ - \Delta x} \over {{x_0}({x_0} + \Delta x)}}:\Delta x = {{ - 1} \over {{x_0}({x_0} + \Delta x)}} \cr
& y'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} ({{ - 1} \over {{x_0}({x_0} + \Delta x)}}) = {{ - 1} \over {{x_0}^2}} \cr} \)