Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y=x3−8x2−12x+1 trên đoạn [−2;9];
b) y=−2x3+9x2−17 trên nửa khoảng (−∞;4];
c) y=x3−12x+4 trên đoạn [−6;3];
d) y=2x3−x2−28x−3 trên đoạn [−2;1];
e) y=−3x3+4x2−5x−17 trên đoạn [−1;2].
• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a;b]:
Bước 1. Tìm các điểm x1,x2,...,xn thuộc khoảng (a;b) mà tại đó f′(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 2. Tính f(a);f(x1);f(x2);...;f(xn);f(b).
Bước 3. Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: M=max[a;b]f(x),m=min[a;b]f(x).
• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:
‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.
‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.
a) Xét hàm số y=f(x)=x3−8x2−12x+1 trên đoạn [−2;9].
Ta có: f′(x)=3x2−16x−12
f′(x)=0⇔x=6 hoặc x=−23.
f(−2)=−15;f(−23)=13927;f(6)=−143;f(9)=−26
Vậy max[−2;9]f(x)=f(−23)=13927,min[−2;9]f(x)=f(6)=−143.
Advertisements (Quảng cáo)
b) Xét hàm số y=f(x)=−2x3+9x2−17 trên nửa khoảng (−∞;4].
Ta có: f′(x)=−6x2+18x
f′(x)=0⇔x=0 hoặc x=3.
Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng (−∞;4]:
Từ bảng biến thiên, ta thấy min(−∞;4]f(x)=f(0)=−17, hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng (−∞;4].
c) Xét hàm số y=f(x)=x3−12x+4 trên đoạn [−6;3].
Ta có: f′(x)=3x2−12
f′(x)=0⇔x=2 hoặc x=−2.
f(−6)=−140;f(−2)=20;f(2)=−12;f(3)=−5
Vậy max[−6;3]f(x)=f(−2)=20,min[−6;3]f(x)=f(−6)=−140.
d) Xét hàm số y=2x3−x2−28x−3 trên đoạn [−2;1].
Ta có: f′(x)=6x2−2x−28
f′(x)=0⇔x=73 (loại) hoặc x=−2.
f(−2)=33;f(1)=−30
Vậy max[−2;1]f(x)=f(−2)=33,min[−2;1]f(x)=f(1)=−30.
e) Xét hàm số y=f(x)=−3x3+4x2−5x−17 trên đoạn [−1;2].
Ta có: \(f’\left( x \right) = - 9{{\rm{x}}^2} + 8{\rm{x}} - 5 = - 9{\left( {x - \frac{4}{9}} \right)^2} - \frac{{29}}{9}
f(−1)=−5;f(2)=−35
Vậy max[−1;2]f(x)=f(−1)=−5,min[−1;2]f(x)=f(2)=−35.