Bài 2 trang 17 SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau...

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y = {x^3} - 8{x^2} - 12x + 1$ trên đoạn $\left[ { - 2;9} \right]$;

b) $y = - 2{x^3} + 9{x^2} - 17$ trên nửa khoảng $\left( { - \infty ;4} \right]$;

c) $y = {x^3} - 12x + 4$ trên đoạn $\left[ { - 6;3} \right]$;

d) $y = 2{x^3} - {x^2} - 28x - 3$ trên đoạn $\left[ { - 2;1} \right]$;

e) $y = - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x - 17$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$.

• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$:

Bước 1. Tìm các điểm ${x_1},{x_2},...,{x_n}$ thuộc khoảng $\left( {a;b} \right)$ mà tại đó $f’\left( x \right)$ bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính $f\left( a \right);f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right);f\left( b \right)$.

Bước 3. Gọi $M$ là số lớn nhất và $m$ là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)$.

• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:

‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.

‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

a) Xét hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} - 8{x^2} - 12x + 1$ trên đoạn $\left[ { - 2;9} \right]$.

Ta có: $f’\left( x \right) = 3{{\rm{x}}^2} - 16{\rm{x}} - 12$

$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 6$ hoặc $x = - \frac{2}{3}$.

$f\left( { - 2} \right) = - 15;f\left( { - \frac{2}{3}} \right) = \frac{{139}}{{27}};f\left( 6 \right) = - 143;f\left( 9 \right) = - 26$

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;9} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \frac{2}{3}} \right) = \frac{{139}}{{27}},\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;9} \right]} f\left( x \right) = f\left( 6 \right) = - 143$.

b) Xét hàm số $y = f\left( x \right) = - 2{x^3} + 9{x^2} - 17$ trên nửa khoảng $\left( { - \infty ;4} \right]$.

Ta có: $f’\left( x \right) = - 6{{\rm{x}}^2} + 18{\rm{x}}$

$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 3$.

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng $\left( { - \infty ;4} \right]$:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = - 17$, hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng $\left( { - \infty ;4} \right]$.

c) Xét hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} - 12x + 4$ trên đoạn $\left[ { - 6;3} \right]$.

Ta có: $f’\left( x \right) = 3{{\rm{x}}^2} - 12$

$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = - 2$.

$f\left( { - 6} \right) = - 140;f\left( { - 2} \right) = 20;f\left( 2 \right) = - 12;f\left( 3 \right) = - 5$

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 6;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = 20,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 6;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 6} \right) = - 140$.

d) Xét hàm số $y = 2{x^3} - {x^2} - 28x - 3$ trên đoạn $\left[ { - 2;1} \right]$.

Ta có: $f’\left( x \right) = 6{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 28$

$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{7}{3}$ (loại) hoặc $x = - 2$.

$f\left( { - 2} \right) = 33;f\left( 1 \right) = - 30$

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = 33,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = - 30$.

e) Xét hàm số $y = f\left( x \right) = - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x - 17$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$.

Ta có: \(f’\left( x \right) = - 9{{\rm{x}}^2} + 8{\rm{x}} - 5 = - 9{\left( {x - \frac{4}{9}} \right)^2} - \frac{{29}}{9}

$f\left( { - 1} \right) = - 5;f\left( 2 \right) = - 35$

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = - 5,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = - 35$.