Bài 1.12 trang 14 SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau...

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y = 3{x^4} - 4{x^3}$;

b) $y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}},x > 1$.

- Tìm tập xác định của hàm số.

- Tính đạo hàm, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng $0$.

- Lập bảng biến thiên của hàm số. Từ bảng biến thiên ta tìm được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

a) Tập xác định: $\mathbb{R}$

Ta có $y’ = 12{x^3} - 12{x^2}$. Khi đó $y’ = 0 \Leftrightarrow 12{x^3} - 12{x^2} = 0 \Leftrightarrow 12{x^2}\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$.

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = y\left( 1 \right) = - 1$; Hàm số không có giá trị lớn nhất.

b) Tập xác định: $\left( {1; + \infty } \right)$

Ta có $y’ = \frac{{2x\left( {x - 1} \right) - {x^2} \cdot 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$. Khi đó $y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (vì $x > 1$)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} y = y\left( 2 \right) = 4$. Hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.