Bài 1.13 trang 14 SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau...

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y = - {x^3} + 3{x^2} + 2$;

b) $y = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2}}$.

- Tìm tập xác định của hàm số.

- Tính đạo hàm, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng $0$ hoặc đạo hàm không tồn tại.

- Lập bảng biến thiên của hàm số.

- Từ bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có).

a) Tập xác định: $\mathbb{R}$

Ta có $y’ = - 3{x^2} + 6x$. Khi đó $y’ = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên thấy hàm số không có cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

b) Tập xác định: $\mathbb{R}$

Ta có $y’ = \frac{{1 \cdot \left( {{x^2} + 2} \right) - x \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}$.

Khi đó $y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - \sqrt 2$ hoặc $x = \sqrt 2$.

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = y\left( { - \sqrt 2 } \right) = \frac{{ - \sqrt 2 }}{4}$; $\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} y = y\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.