Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) f(x)=x√4−x2,−2≤x≤2;
b) f(x)=x−cosx,−π2≤x≤π2.
Đây là bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn:
- Tìm các điểm thuộc đoạn đang xét mà tại đó giá trị đạo hàm bằng không hoặc không tồn tại.
- Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở bước trước và tại biên của đoạn đang xét.
- Tìm số lớn nhất, nhỏ nhất trong các số vừa tính được ở bước trước ta thu được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Ta có f′(x)=√4−x2−x2√4−x2=4−2x2√4−x2.
Khi đó f′(x)=0⇔4−2x2√4−x2=0⇔4−2x2=0⇔x=−√2 hoặc x=√2 .
Ta cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−2;2].
Ta có: f(−2)=(−2)⋅√4−(−2)2=0;f(2)=2⋅√4−22=0;
f(−√2)=(−√2)⋅√4−(−√2)2=−2;f(√2)=√2⋅√4−(√2)2=2.
Do đó, min; \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2.
b) Ta có f’\left( x \right) = 1 + \sin x. Ta thấy \(0
Do đó, trong khoảng \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right), phương trình f’\left( x \right) = 0 vô nghiệm.
Ta có: f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2} - \cos \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2};{\rm{ }}f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} - \cos \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{2}.
Vậy \mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2}; \mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}.