Bài 1.26 trang 20 SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Cho hàm số y = x + 1/x - 1 có đồ thị (C)...

Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$ có đồ thị (C).

Tính tích khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc (C) đến hai đường tiệm cận của nó.

+ Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của (C).

+ Gọi M là một điểm thuộc (C): $M\left( {x;\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) \in \left( C \right)$

+ Tính khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận, từ đó ta thu được tích của hai khoảng cách đó là một số.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = - \infty$. Do đó đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số;$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1$. Do đó đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Giả sử điểm $M\left( {x;\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) \in \left( C \right)$. Khi đó khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $x = 1$ là

${d_1} = \left| {x - 1} \right|$, khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $y = 1$ là ${d_2} = \left| {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - 1} \right| = \frac{2}{{\left| {x - 1} \right|}}$.

Ta có ${d_1} \cdot {d_2} = \left| {x - 1} \right| \cdot \frac{2}{{\left| {x - 1} \right|}} = 2$. Vậy tích khoảng cách cần tìm là $2$.