Câu 2.20 trang 73 SBT Giải Tích lớp 12 nâng cao: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức...

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

a) $y = {3^{ - x + \sqrt x }}$                                      b) $y = {\left( {0,5} \right)^{{{\sin }^2}x}}$

Giải

a) Điều kiện: x > 0

$- x + \sqrt x  =  - {\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \le {1 \over 4},\forall x \ge 0$

Do đó: ${y_{\,max}} = {3^{{1 \over 4}}} = \root 4 \of 3$ (Vì cơ số 3 > 1)   

Dấu "=” xảy ra khi $x = {1 \over 4}$                                             

b) ${1\ge\sin ^2}x \ge 0,\forall x$

Mà cơ số 0< 0,5 < 1 nên ${y_{max}} = 0,{5^0} = 1$

Dấu "=” xảy ra khi $x = k\pi \left( {k \in\mathbb Z} \right)$