Câu 4.15 trang 179 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Hỏi khi số thức a thay đổi tùy ý thì các điểm của mặt phẳng phức...

Hỏi khi số thức a thay đổi tùy ý thì các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các căn bậc hai của a + i vạch nên đường nào ?

Giải

Viết $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$ thì

${z^2} = a + i \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{x^2} - {y^2} = a \hfill \cr 2xy = 1 \hfill \cr}  \right.$

Phương trình $2xy = 1$ chứng tỏ điểm M biểu diễn z phải thuộc hypebol $y = {1 \over {2x}}$. Vì với mỗi điểm $\left( {x,y} \right)$ của hylebol này, tìm được $a = {x^2} - {y^2}$ nên M vạch nên toàn bộ hai nháy hypebol đó.