Bài 2.1 trang 49 sách bài tập (SBT) – Hình học 12: Một hình nón tròn xoay có đỉnh là D, tâm của đường tròn đáy là O,...

Một hình nón tròn xoay có đỉnh là D, tâm của đường tròn đáy là O, đường sinh bằng l và có góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng $\alpha$.

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón được tạo nên.

b) Gọi I là một điểm trên đường cao DO của hình nón sao cho ${{DI} \over {DO}} = k(0 < k < l)$ . Tính diện tích thiết diện qua I và vuông góc với trục của hình nón.

Hướng dẫn làm bài:

a) Gọi r là bán kính của đường tròn đáy.

Ta có $OA{\rm{ }} = {\rm{ }}r{\rm{ }} = l.\cos \alpha$ (với O là tâm của đường tròn đáy và A là một điểm trên đường tròn đó).

Ta suy ra:  ${S_{xq}} = \pi rl = \pi {l^2}\cos \alpha$

Khối nón có chiều cao $h = DO = l\sin \alpha$  . Do đó thể tích V của khối nón được tính theo công thức $V = {1 \over 3}Bh = {1 \over 3}\pi {r^2}.h$

Vậy : $V = {1 \over 3}\pi {l^2}{\cos ^2}\alpha .l\sin \alpha  = {1 \over 3}\pi {l^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha$

b) Thiết diện qua I và vuông góc với trục hình nón là một hình tròn bán kính  r’ với ${{r’} \over r} = {{DI} \over {DO}} = k$

Gọi s là diện tích của thiết diện và S là diện tích của đáy hình tròn ta có:

 ${s \over S} = {k^2}\Leftrightarrow s = {k^2}S$, trong đó $S = \pi {r^2} = \pi {l^2}{\cos ^2}\alpha$

Vậy diện tích của thiết diện đi qua điểm I và vuông góc với trục hình nón là: $s = {k^2}S = {k^2}\pi {l^2}{\cos ^2}\alpha$